1、2016年河北省石家庄市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合M=1，1，N=x|x2x6，则下列结论正确的是（）ANMBNM=CMNDMN=R2已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）ABy=lgxCy=|x|1D4已知数列an满足an+2=an+1an，且a1=2，a2=3，Sn为数列an的前n项和，则S2016的值为（）A0B2C5D65设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四
2、个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若=n，mn，则m且m；若，则；其中真命题的个数是（）A0B1C2D36执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为（）A9B10C11D127已知x，y满足约束条件，若2m4，则目标函数z=y+mx的最大值的变化范围是（）A1，3B4，6C4，9D5，98一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（）ABCD9已知直线1与双曲线C：x2y2=2的两条渐近线分别交于A、B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为（）AB1C2D410设XN（1，2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X3）=0.0228，那么向正方
3、形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）=68.26%，P（2+2）=95.44%A6038B6587C7028D753911设，0，且满足sincoscossin=1，则sin（2）+sin（2）的取值范围为（）A，1B1，C1，1D1，12已知函数f（x）=x+exa，g（x）=ln（x+2）4eax，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）g（x0）=3成立，则实数a的值为（）Aln21B1+ln2Cln2Dln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（x2+）dx14已知数列a
4、n的前n项和为Sn，若Sn=2an4，nN*，则an=15已知向量，满足|=，|=3，若（）（2）=0，则|的最大值是16设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tanAMB=2，则|AB|=三、解答题（共5小题，满分60分）17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求ABC的面积18为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y7.0
5、6.55.53.82.2（）求y关于x的线性回归方程=x+；（）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式： =， =19如图，在四棱锥中PABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PABD（1）求证：PB=PD；（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小20已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=（1）求椭圆C的方程；（2）若，2，求弦长|AB|的取值范围21已知函数f（x）=x
6、3+ax，g（x）=exe（其中e为自然对数的底数）（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0）处的切线互相垂直，求实数a的值（）设函数h（x）=，讨论函数h（x）零点的个数选修41，几何证明选讲22如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P（）若PD=8，CD=1，PO=9，求O的半径；（）若E为O上的一点，DE交AB于点F，求证：PFPO=PAPB选修44，坐标系与参数方程23在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C的极坐标方程为=4sin2cos（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐
7、标方程：（）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|PB|的值选修45，不等式选讲24设f（x）=|ax1|（）若f（x）2的解集为6，2，求实数a的值；（）当a=2时，若存在xR，使得不等式f（2x+1）f（x1）73m成立，求实数m的取值范围2016年河北省石家庄市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合M=1，1，N=x|x2x6，则下列结论正确的是（）ANMBNM=CMNDMN=R【考点】子集与真子集【分析】求出集合N，从而判断出M，N的关系即可【解答】
8、解：集合M=1，1，N=x|x2x6=x|2x3，则MN，故选：C2已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（1，1），位于第三象限故选：C3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）ABy=lgxCy=|x|1D【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可【解答】解：A.是奇函数，不满足
9、条件By=lgx的定义域为（0，+），函数为非奇非偶函数，不满足条件Cy=|x|1是偶函数，当x0时，y=x1为增函数，满足条件D函数的定义域为（0，+），函数为非奇非偶函数，不满足条件故选：C4已知数列an满足an+2=an+1an，且a1=2，a2=3，Sn为数列an的前n项和，则S2016的值为（）A0B2C5D6【考点】数列的求和【分析】通过计算出数列的前几项确定周期，进而计算可得结论【解答】解：依题意，a1=2，a2=3，a3=a2a1=32=1，a4=a3a2=13=2，a5=a4a3=21=3，a6=a5a4=3（2）=1，a7=a6a5=1（3）=2，a8=a7a6=2（1）=
10、3，数列an是周期为6的周期数列，又2016=6336，S2016=（2+3+1231）336=0，故选：A5设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若=n，mn，则m且m；若，则；其中真命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据空间线面位置关系判断【解答】解；若n，则内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故错误；若，则，若m，则m，故正确；若m，显然结论错误；以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故错误故选：B6执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为（）A9B10C1
11、1D12【考点】程序框图【分析】先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值【解答】解：模拟执行程序，可得m=1，T=1满足条件T99，T=1，m=2满足条件T99，T=4，m=3满足条件T99，T=9，m=4满足条件T99，T=16，m=5满足条件T99，T=25，m=6满足条件T99，T=36，m=7满足条件T99，T=49，m=8满足条件T99，T=64，m=9满足条件T99，T=81，m=10满足条件T99，T=100，m=11不满足条件T99，退出循环，输出m的值为11故选：C7已知x，
12、y满足约束条件，若2m4，则目标函数z=y+mx的最大值的变化范围是（）A1，3B4，6C4，9D5，9【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=y+mx为y=mx+z，从而结合图象可得目标函数z=y+mx的最大值始终可在一个点上取得，从而解得【解答】解：由题意作平面区域如下，化目标函数z=y+mx为y=mx+z，结合图象可知，当2m4时，目标函数z=y+mx的最大值始终可在点A上取得，由解得，x=2，y=1；即A（2，1）；故z=2m+1，2m4，52m+19，故选：D8一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分
13、析】利用三视图的正视图与俯视图，判断几何体的形状，然后推出结果【解答】解：由几何体的三视图可知，三棱锥的顶点在底面的射影在底面棱上，可知几何体如图：侧视图为：D故选：D9已知直线1与双曲线C：x2y2=2的两条渐近线分别交于A、B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为（）AB1C2D4【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入渐近线的方程，求得A，B的坐标，可得中点坐标，代入双曲线的方程，运用直角三角形的面积公式计算即可得到【解答】解：双曲线C：x2y2=2即为=1，可得a=b=，渐近线方程为y=x，若直线l
14、的斜率不存在，可设x=t，即有A（t，t），B（t，t），中点为（t，0），代入双曲线的方程可得t=，直角三角形AOB的面积为2=2；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，代入渐近线方程，可得A（，），B（，），求得AB的中点为（，），代入双曲线的方程可得m2=2（1k2），由题意可得A，B在y轴的同侧，可得0，显然不成立综上可得，AOB的面积为2故选：C10设XN（1，2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）=68.26%，P（
15、2+2）=95.44%A6038B6587C7028D7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】求出P（0X1）=10.6826=10.3413=0.6587，即可得出结论【解答】解：由题意P（0X1）=10.6826=10.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为100000.6587=6857，故选：B11设，0，且满足sincoscossin=1，则sin（2）+sin（2）的取值范围为（）A，1B1，C1，1D1，【考点】三角函数的化简求值【分析】先利用正弦的两角和公式化简已知等式求得=+，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简，根据的范围求得cos
16、（+）的范围，即可得解【解答】解：sincossincos=sin（）=1，、0，=，可得：=+0，+0，+，又+，+，cos（+），sin（2）+sin（2）=sin（+）+sin（）=cossin=cos（+）1，1，故选：C12已知函数f（x）=x+exa，g（x）=ln（x+2）4eax，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）g（x0）=3成立，则实数a的值为（）Aln21B1+ln2Cln2Dln2【考点】函数与方程的综合运用【分析】令f（x）g（x）=x+exa1n（x+2）+4eax，运用导数求出y=xln（x+2）的最小值；运用基本不等式可得exa+4eax4，从
17、而可证明f（x）g（x）3，由等号成立的条件，从而解得a【解答】解：令f（x）g（x）=x+exa1n（x+2）+4eax，令y=xln（x+2），y=1=，故y=xln（x+2）在（2，1）上是减函数，（1，+）上是增函数，故当x=1时，y有最小值10=1，而exa+4eax4，（当且仅当exa=4eax，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）g（x）3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=1，即a=1ln2故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（x2+）dx【考点】定积分【分析】首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，结合几何意义，然后分
18、别求原函数代入求值【解答】解：（x2+）dx=2x2dx+2dx=2|+212=故答案为： 14已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2an4，nN*，则an=【考点】数列递推式【分析】根据已知等式确定出Sn1=2an14（n1），已知等式与所得等式相减，利用数列的递推式得到数列an为首项是1，公比是2的等比数列，利用等比数列性质确定出通项公式即可【解答】解：Sn=2an4，Sn1=2an14（n1），得：SnSn1=2an2an1，即an=2an2an1，整理得：an=2an1，即=2，S1=a1=2a14，即a1=4，数列an为首项是4，公比是2的等比数列，则an=42n1=2n+1，故答
19、案为：2n+115已知向量，满足|=，|=3，若（）（2）=0，则|的最大值是【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出的夹角，求出的终点坐标，设的终点坐标为（x，y），利用向量垂直得出C的轨迹方程，转化为平面几何中的距离问题【解答】解：|=，|=3，cos=的夹角为45设，O为坐标原点则|=|BC|设A（，0），B（，），设C（x，y），则=（x2，y），2=（33x，33y），（）（2）=0，（x2）（33x）+y（33y）=0，整理得：x2+y23xy+4=0，即（x）2+（y）2=1点C的轨迹为以M（，）为圆心，以r=1为半径的圆点B到圆心M的距离d=，BC的最大距离为d+r=即|的最大
20、值为故答案为16设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tanAMB=2，则|AB|=【考点】抛物线的简单性质【分析】设AB方程y=k（x1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tanAMB=2，建立k的方程，即可得出结论【解答】解：焦点F（1，0），M（1，0），设AB方程y=k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2）tanAMB=2，=2，整理可得2k（x1x2）=2（x1+1）（x2+1）+2y1y2（*）y=k（x1），与y2=4x联立可得k2x2（2k2+4）x+k2=0可得x1x2=p2=1，x1+x2=+2，y1
21、y2=p2=4代入（*）可得2k（x1x2）=2（），x1x2=，（+2）24=（）2，k=1，x1+x2=+2=6，|AB|=8故答案为：8三、解答题（共5小题，满分60分）17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）2bcosC+c=2a由正弦定
22、理可知：2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，sinC=2cosBsinC，cosB=B为三角形内角，B=，（2）在ABC值，cosA=，sinA=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，=，设b=7x，c=5x，BD为AC边上的中线，BD=，由余弦定理，得BD2=AB2+AD22ABADcosA，=25x2+49x225x7x解得x=1，b=7，c=5，SABC=bcsinA=1018为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价
23、格统计如表：x12345y7.06.55.53.82.2（）求y关于x的线性回归方程=x+；（）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式： =， =【考点】线性回归方程【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数；（II）求出利润z的解析式，根据二次函数的性质而出最大值【解答】解：（），y关于x的线性回归方程为（）z=x（8.691.23x）2x=1.23x2+6.69x所以x=2.72时，年利润z最大19如图，在四棱锥中PABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PABD（1）求证：PB=PD；（2）若E，F分别为P
24、C，AB的中点，EF平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连结PO，则ACBD，结合PABD得出BD平面PAC，故而BDPO，又O为BD的中点，得出OP为BD的中垂线，得出结论；（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ平面PCD，通过证明CD平面PAD得出CDPA，结合PABD得出PA平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos|，从而得出线面角的大小【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO底面ABCD
25、是正方形，ACBD，OB=OD又PABD，PA平面PAC，AC平面PAC，PAAC=A，BD平面PAC，PO平面PAC，BDPO又OB=OD，PB=PD（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，则EQCD，EQ=CD，又AFCD，AF=，EQAF，EQ=AF，四边形AQEF为平行四边形，EFAQ，EF平面PCD，AQ平面PCD，AQPD，Q是PD的中点，AP=AD=AQ平面PCD，AQCD，又ADCD，AQAD=A，CD平面PAD，CDPA又BDPA，BDCD=D，PA平面ABCD以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），P（0，0，），A（0，0
26、，0），Q（0，）=（0，），=（，0，）AQ平面PCD，为平面PCD的一个法向量cos=设直线PB与平面PCD所成角为，则sin=|cos|=直线PB与平面PCD所成角为20已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=（1）求椭圆C的方程；（2）若，2，求弦长|AB|的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）先由离心率得到a，b的关系，再由求出b，再由直线l垂直于x轴时，|AB|=求得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB的方程y=k（x1），将直线的方程代入椭
27、圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而求得弦长|AB|的取值范围【解答】解：（1）由题意可得，即，则a2=2b2，把x=1代入，得y=，则，联立得：a2=2，b2=1椭圆C的方程为；（2）如图，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x1），联立，得（1+2k2）y2+2kyk2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由|MA|=|MB|，得，（1x1，y1）=（x21，y2），则y1=y2，把代入消去y2得：，当，2时，0，解得：|AB|=弦长|AB|的取值范围为21已知函数f（x）=x3+
28、ax，g（x）=exe（其中e为自然对数的底数）（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0）处的切线互相垂直，求实数a的值（）设函数h（x）=，讨论函数h（x）零点的个数【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）分别求出两个函数的导函数，求得它们在x=0处的导数值，由导数值乘积等于1求得a值；（）函数g（x）=exe在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x1时，g（x）0，求出f（x）的导函数，当a0时，由导数f（x）在x0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；然后分类讨论判断当a0时f（x）的极值点的
29、情况得答案【解答】解：（）由已知得f（x）=3x2+a，g（x）=ex，则f（0）=a，g（0）=1，则a=1；（）函数g（x）=exe在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x1时，g（x）0，又f（x）=3x2+a，当a0时，f（x）0，f（x）在实数集上单调递减，且过点（0，），f（1）=，即f（x）在x0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；当a0时，令f（x）=0，得两根，则是函数f（x）的一个极小值点，是f（x）的一个极大值点而f（）=，现在讨论极大值的情况：当0，即a时，函数f（x）在（0，+）恒小于0，此时y=h（x）有两个零点；当=0，即a=时，函数f（x）
30、在（0，+）上有一解，此时y=h（x）有三个零点；当0，即a时，函数f（x）在（0，+）上有两个解，一个小于，一个大于若f（1）=1+a0，即a时，1，此时y=h（x）有四个零点；若f（1）=1+a=0，即a=时， =1，此时y=h（x）有三个零点；若f（1）=1+a0，即a时，1，此时y=h（x）有四个零点综上所述，或a时，y=h（x）有两个零点；a=或a=时，y=h（x）有三个零点；时，y=h（x）有四个零点选修41，几何证明选讲22如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P（）若PD=8，CD=1，PO=9，求O的半径；（）若E为O上的一点，DE交AB于点F，求证：PFPO=P
31、APB【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）若PD=8，CD=1，PO=9，利用割线定理求O的半径；（）连接OC、OE，先证明PDFPOC，再利用割线定理，即可证得结论【解答】（）解：PA交圆O于B，A，PC交圆O于C，D，PDPC=PBPAPDPC=（POr）（POr）89=92r2（）证明：连接EO CO=，EOA=COAEOC=2EDC，EOA=COAEDC=AOC，COP=FDPP=P，PDFPOCPFPO=PDPC，PDPC=PBPA，PFPO=PAPB选修44，坐标系与参数方程23在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C的极坐
32、标方程为=4sin2cos（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：（）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|PB|的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中，即可得出直线l的直角坐标方程由=2cos+4sin，得2=2cos+4sin，把代入即可得出曲线C的直角坐标方程（2）分别求出P、A、B的坐标，根据两点之间的距离公式计算即可【解答】解：（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中得：y=x+3，直线l的直角坐标方程为xy+3=0由=4sin2cos，得2=4sin2cos，x2+y2=
33、4y2x，即x2+y2+2x4y=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x4y=0；（2）由l：y=x+3，得P（0，3），由，解得或，|PA|PB|=3选修45，不等式选讲24设f（x）=|ax1|（）若f（x）2的解集为6，2，求实数a的值；（）当a=2时，若存在xR，使得不等式f（2x+1）f（x1）73m成立，求实数m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）通过讨论a的符号，求出a的值即可；（）令h（x）=f（2x+1）f（x1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可【解答】解：（）显然a0，当a0时，解集为，无解；当a0时，解集为，令，综上所述，（） 当a=2时，令h（x）=f（2x+1）f（x1）=|4x+1|2x3|=由此可知，h（x）在单调减，在单调增，在单调增，则当时，h（x）取到最小值 ，由题意知，则实数m的取值范围是2016年10月13日
