1、1.1.2弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式知识链接1初中几何研究过角的度量,当时是用度来作为单位度量角的那么1的角是如何定义的?它的大小与它所在圆的大小是否有关?答规定周角的作为1的角;它的大小与它所在圆的大小无关2用度作为单位来度量角的制度叫做角度制,在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积,其公式是什么?答l,S.预习导引1弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1_rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称
2、为弧度制(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数;负角的弧度数是负数;零角的弧度数是0.(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,那么,角的弧度数的绝对值是|.2角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度023.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,(2)为其圆心角,则度量单位类别为角度制为弧度制扇形的弧长ll|r扇形的面积SSlr|
3、r2要点一角度制与弧度制的换算例1将下列角度与弧度进行互化(1)20;(2)15;(3);(4).解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.规律方法(1)进行角度与弧度换算时,要抓住关系式: rad180.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值跟踪演练1(1)把11230化成弧度;(2)把化成度解(1)11230.(2)75.要点二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2k (02,kZ)的形式,并指出是第几象限角:(1)1 500;(2);(3)4.解(1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10,是第四象限角(2)2,与终边相同,是第四象限
4、角(3)42(24),24.4与24终边相同,是第二象限角规律方法用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时,其中2k是的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪演练2设1570,2750,1,2.(1)将1,2用弧度制表示出来,并指出它们各自的终边所在的象限;(2)将1,2用角度制表示出来,并在720,0)范围内找出与它们终边相同的所有角解(1)180 rad,157022,275022.1的终边在第二象限,2的终边在第一象限(2)1108,设108k360(kZ),则由7200,即720108k3600,得k2,或k1.故在720,0)范围内,与1终边相同的角是612和252.
5、260,设60k360(kZ),则由72060k3600,la2r0,0r,则解得,.4把表示成2k(kZ)的形式,使|最小的值是_答案解析22(1),.1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式度数与弧度数的换算借助“度数 rad弧度数,弧度数()度数”进行,一些特殊角的度数与弧度数的对应值必须记牢3在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,
6、要注意角的单位取弧度一、基础达标1300化为弧度是_答案2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是_答案解析r,l|r.3若扇形圆心角为216,弧长为30,则扇形半径为_答案25解析216216,l30rr,r25.4下列命题中,是假命题的序号为_“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位;1的角是周角的,1 rad的角是周角的;1 rad的角比1的角要大;用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关答案5已知是第二象限角,且|2|4,则的集合是_答案(1.5,)(0.5,2解析是第二象限角,2k2k,kZ,|2|4,62,当k1时,1.5,当k0时,0.52,当k为其他整数
7、时,满足条件的角不存在6如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的_答案解析由于Slr,若ll,rr,则SlrlrS.7用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合解(1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|2k2k,kZ(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合|k0,且l302r0,0r15,当半径r cm时,l30215(cm),扇形面积的最大值是 cm2,这时2 rad.当扇形的圆心角为2 rad,半径为cm时,面积最大,最大面积为 cm2.12.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,依逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为 (0),经过2 s达到第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求.解因为0,且2k22k(kZ),则必有k0,于是,又142n(nZ),所以,从而,即n2(rad)(舍去);若则扇形圆心角(rad)故扇形圆心角弧度数为rad.