1、双曲线的几何性质及应用A组学业达标1若直线xa与双曲线y21有两个交点，则a的值可以是()A4B2C1 D2解析：因为在双曲线y21中，x2或x2，所以若xa与双曲线有两个交点，则a2或a0)没有公共点，则a的取值范围是()Aa1 B0a1 Da1解析：等轴双曲线x2y2a2的渐近线方程为yx，若直线yax(a0)与等轴双曲线x2y2a2没有公共点，则a1.答案：D3直线l：ykx与双曲线C：x2y22交于不同的两点，则斜率k的取值范围是()A(0,1) B(，)C(1,1) D1,1解析：由双曲线C：x2y22与直线l：ykx联立，得(1k2)x220.因为直线l：ykx与双曲线C：x2y2
2、2交于不同的两点，所以解得1k0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点若ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：设F1(c,0)，A(c，y0)，则1，1，y，|AB|2|y0|.又SABF22，2c |AB|2c2，.该双曲线的渐近线方程为yx.答案：D6直线2xy100与双曲线1的交点是_解析：由解得或答案：(6,2)，7直线yx1与双曲线1相交于A，B两点，则|AB|_.解析：由得x24x80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|4.答案：48已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60
3、的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析：由题意，知，则3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e24，所以e2.答案：2，)9已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长解析：双曲线方程可化为1，故a21，b23，c2a2b24，c2.F2(2,0)，又直线l的倾斜角为45，直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x20，所以m的值为，故所求l的方程为y2x.B组能力提升1
4、1已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的一个焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1.答案：B12已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2C. D.解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|
5、2a，MBx18012060，M点的坐标为(2a，a)M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.答案：D13双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：双曲线1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53).答案：14双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，左、右顶点为A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线斜率为_解析：由
6、题意知F(c,0)，A1(a,0)，A2(a,0)，其中c.联立解得B，C，所以，.因为A1BA2C，所以(ca)(ca)0，解得ab，所以渐近线的斜率为1.答案：115已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程解析：(1)由已知得c2，e2，所以a1，b.所以所求的双曲线方程为x21.(2)设直线l的方程为yxm，点M(x1，y1)，N(x2，y2)联立整理得2x22mxm230.(*)设MN的中点为(x0，y0)，
7、则x0，y0x0m，所以线段MN垂直平分线的方程为y，即xy2m0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，可得|2m|2m|4，得m22，m，此时(*)的判别式0，故直线l的方程为yx.16已知P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解析：(1)由点P在双曲线1上，得1.由题意得，可得a25b2，c2a2b26b2，则e.(2)联立方程得得4x210cx35b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，由，得又C为双曲线E上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2，化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线E上，所以x5y5b2，x5y5b2.又x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，得240，解得0或4.
