1、第28讲 创新型、探索型问题的解法高考命题中的创新型与探索型问题对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高层次的考查，同时考查学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等各方面的能力；学生在经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程是新课标理念的最佳载体，因此在近几年来的高考中经常出现，在2013年高考复习中应倍加注意，并进行针对性训练高考真题【命题立意】本题以高等数学的凹函数为依托融于初等数学知识中，考查学生的逻辑推理能力和处理新问题的应变能力【命题立意】(1)对于信息迁移题，认真读懂新信息是关键，然后再运用新信息去解决新的问题；(2)不等式恒成立问题常转化为函数的最值或上、下界
2、问题，然后再利用导数求最值或上、下确界的值1创新型问题包括开放型问题、定义信息型问题和类比归纳型问题(1)开放型创新题：是指问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的一种题型，这类题型结构新颖、解题方法灵活、知识覆盖面宽、问题结论开放，打破了固定的思维模式和解题套路，给解题者很大的思考空间和多种分析思路(2)定义信息型创新题：命题特点是给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决求解此类问题通常分三个步骤进行：(1)对新知识进行信息提取，确定化归方向；(2)对从新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方
3、法；(3)对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解(3)类比归纳型创新题：类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等或引申、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例、若干特殊现象中递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般性规律的一种思考问题的方法2探究型问题一般可分为探求结论型、探求条件型、探求存在型、探求规律型四类型(1)探求结论型问题：给出了条件，结论不明确或开放性的问题，需要解题者探索出结论并加验证或证明(2)探求条件型问题：给出了结论，要寻求使其成立的相应的条件，如“求的取值范围”，“若结论成立”等等解答者通过分
4、析倒推、逆向思维探求结论成立的条件(3)探索存在型问题：即对于结论是否成立的问题一般有肯定型、否定型和讨论型三种关于这类题的解题思路是：先假设结论是肯定存在的，若推证合理且无矛盾，则结论成立；若推证有矛盾，则可否定结论其中反证法在证题中起着重要的作用(4)探求规律型：认真观察分析问题情境，运用归纳推理，类比推理探究问题的本质性的一般规律1新概念、新定义下的创新问题【点评】本题主要考查分段函数、二次函数、新定义函数等内容，考查函数与方程之间的关系，不等式的有关知识，同时考查了函数与方程思想以及学生的运算能力9621/3R(S1S2S3S4)【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距
5、离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥面积的和【点评】归纳推理是由特殊到一般，类比推理是由特殊到特殊，求解时关键是观察分析问题的本质属性【点评】本大题主要考查放缩法及等差、等比数列综合知识，考查学生理解新定义并运用新定义的能力本大题的第(2)问具有较大的思维空间，是一个开放性且综合性较高的创新性问题高考考查考生的创新意识，不仅仅要求学生能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是要求学生能够应用这些知识和方法解决数学和现实生活中比较新颖的问题要解决这种问题要求学生：(1)能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解(或求证)中考虑所需要的信息；(2)能
6、从记忆系统储存的数学信息中提取有关的信息作为解题的依据，推动信息的延伸；(3)将上述过程中获得的信息联系起来，通过分析与综合，从已知到未知和从未知到已知两方面入手寻找正反两个方向的知识“衔接点”，建立一个固有的或确定的数学关系；(4)整理上述思维过程，形成一个从条件到结论的行动序列，完成题目提出的问题A B C【解析】从a1，a2，a3，a4，a5中任意选取2个数按原来相对顺序排列共有10个数对由已知，其中3个数对是“逆序”，则剩余7个数对不是“逆序”，则数组(a5，a4，a3，a2，a1)的逆序数是7，故选C.C 2n2n1 080 82 010【点评】本题是一个新概念题，主要考查学生应用新知识分析问题、解决问题的能力及逻辑思维能力，难度较大
