1、高考资源网() 您身边的高考专家 空间中的平行关系【考点导读】1掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。2明确定义与定理的不同,定义是可逆的,既是判定也是性质,而判定定理与性质定理多是不可逆的。3要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。【基础练习】1若为异面直线,直线ca,则c与b的位置关系是 异面或相交。 2给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行. 垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 4 个。3对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直
2、线m,使m与l 垂直 。4. m和n是分别在两个互相垂直的面、内的两条直线,与交于l,m和n与l既不垂直,也不平行,那么m和n的位置关系是 既不可能垂直,也不可能平行 。5. 已知a、b、c是三条不重合的直线,、r是三个不重合的平面,下面六个命题:ac,bcab;ar,brab;c,c;r,r;ac,ca;ar,ra其中正确的命题是 。 【范例导析】例1. 空间四边形ABCD中,P、Q、R分别AB、AD、CD 的中点,平面PQR交BC于S , 求证:四边形PQRS为平行四边形。 证明:PQ为AB、AD中点 PQ/BD 又PQ平面BCD ,BD平面BCD PQ/平面BCD 又平面PQR平面BCD
3、RS , PQ平面RQR PQ/RS R为DC中点, S为BC中点,PQ/ RS 且PQ= RS PQRS 为平行四边形点评:灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行”与“线面平行”的转化是证平行关系的常用方法。变式题:如图,在四面体ABCD中,截面EFGH是平行四边形求证:AB平面EFG证明:面EFGH是截面点E,F,G,H分别在BC,BD,DA,AC上EH 面ABC,GF 面ABD,由已知,EHGFEH面ABD又EH 面BAC,面ABC面ABD=ABEHABAB面EFGABCDNFEMA11B11D11C11例2 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C
4、上,并且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.分析:“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。简证:法1:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行,如图所示作平行线即可。法2:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P,连B1P,就是所找直线,然后再设法证明MNB1P.法3:把证“线面平行”转化为证“面面平行”。过M作MQ/BB1交BC于B1,连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行,从而证得MN平面ABB1A1.点评:证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化,非常灵活。例3已
5、知:a、b是异面直线,a平面,b平面,a,b求证: 证法1:在a上任取点P,显然点P不在直线b上b于是b和点P确定平面g且与有公共点P b且b和a交于P, b, bb b, 而ab这样内相交直线a和b都平行于b 证法2:设AB是a、b的公垂线段,过AB和b作平面,则b,过AB和a作平面,则aaaa bbbABaABa,ABbABb于是ABa 且ABb, 【反馈演练】1. 对于平面M与平面N, 有下列条件:M、N都垂直于平面Q;M、N都平行于平面Q; M内不共线的三点到N的距离相等;l, M内的两条直线,且l/ M,m / N; l,m是异面直线,且l/ M,m / M;l/ N,m / N,则
6、可判定平面M与平面N平行的条件的个数是: 2个 。2对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是 (3)。(1)若则 (2)若则(3)若则 (4)若、与所成的角相等,则3. 设a、b是两条异面直线,那么下列四个命题中的假命题是 (2) 。(1)经过直线a有且只有一个平面平行于直线b(2)经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b(3)存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面(4)存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面4关于直线a、b、l及平面M、N,下列命题中正确的是(4) 。(1)若aM,bM,则ab (2)若aM,ba,则bM(3)若aM,bM,且la,lb,则lM (4)若aM,aN,则M
7、N5“任意的,均有”是“任意,均有”的 充要条件 。6.在正方体AC1中,过A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .7在长方体ABCDA1B1C1D1中,经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点,则四边形EBFD!的形状为 平行四边形 。8正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2,点M是BC的中点,点P是平面ABCD内的一个动点,且满足PM=2,P到直线A1D1的距离为,则点P的轨迹为 双曲线 。2020正视图20侧视图101020俯视图9已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是。10. 已知为平行四边形所在平面外一点,
8、为的中点,求证:平面证明 连交于,连,则为的中位线,平面,平面,平面 11如图,已知是平行四边形所在平面外一点,、分别是、的中点(1)求证:平面;(2)若, 求异面直线与所成的角的大小略证:(1)取PD的中点H,连接AH, 为平行四边形 (2): 连接AC并取其中点为O,连接OM、ON,则OM平行且等于BC的一半,ON平行且等于PA的一半,所以就是异面直线与所成的角,由,得,OM=2,ON=所以,即异面直线与成的角12两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MAC,NFB,且AM=FN,求证:MN平面BCE。证法一:作MPBC,NQBE,P、Q为垂足,则MPAB,NQAB。MPNQ,又AM=NF,AC=BF,MC=NB,MCP=NBQ=45RtMCPRtNBQMP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形MNPQPQ平面BCE,MN在平面BCE外,MN平面BCE。证法二:如图过M作MHAB于H,则MHBC,连结NH,由BF=AC,FN=AM,得 NH/AF/BE由MH/BC, NH/BE得:平面MNH/平面BCEMN平面BCE。 高考资源网()来源:高考资源网版权所有:高考资源网(www.k s 5 ) 版权所有高考资源网