1、第五章数列第五节 数列的热点问题考点一 数列与函数、不等式的交汇问题【例 1】已知数列an的通项公式为 an3n2.若正项等比数列bn满足 b1a1，b3a2，且 cnanbn，数列cn的前 n 项和为 Tn.(1)求 Tn；(2)若对任意 n2，nN*，均有(Tn5)m6n231n35 恒成立，求实数 m 的取值范围【解】(1)由题知 b11，b34，bn2n1，则 cnanbn(3n2)2n1，Tn120421(3n2)2n1，2Tn121422(3n2)2n，Tn13(21222n1)(3n2)2n(53n)2n5，Tn(3n5)2n5.(2)(3n5)2nm6n231n35(n2，nN
2、*)恒成立，m6n231n353n52n 3n52n73n52n2n72n，即 m2n72n对任意n2，nN*恒成立设 kn2n72n，则 kn1kn2n52n1 2n72n92n2n1，当 n4 时，kn1kn；当 n5 时，kn1an，则a1 的取值范围是()A(，1)(1，)B(，0)(1，)C(1，)D(1,0)A解析：由题易得 a2nan，an(an1)0，an1 或 an1a1，a3a22a41a21a2，an1a2nan，同理当 a1(1，)时，an1a2nan 也成立，故选 A.2已知数列an满足 a112，1an1 1an2(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：a
3、21a22a23a2n12.解：(1)由条件可知数列1an 为等差数列，且首项为 2，公差为 2，故 1an22(n1)2n，所以 an 12n.(2)证明：由(1)可知 a2n12n214 1n2141n 1n1141n11n，n2，所以 a21a22a23a2n1411121213 1n11n1421n.故 a21a22a23a2n0，所以 b20，b2 0180，所以 b2b2 018202 b2b2 018，即 b2b2 018100(当且仅当 b2b2 018 时等号成立)，因此 b2b2 018 的最大值为 100.方法技巧1新定义数列问题的特点,通过给出一个新的数列的概念，或约定
4、一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.2新定义问题的解题思路,遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.1定义一种运算“”，对于任意 nN*均满足以下运算性质：(1)22 0191；(2)(2n2)2 019(2n)2 0193，则 2 0182 019.3025解析：设 an(2n)2 019，则由运算性质(1)知 a11，由运算性质(2)知 an1an3，即 an1an3.所以数列an
5、是首项为 1，公差为 3 的等差数列，故 2 0182 019(21 009)2 019a1 00911 00833 025.2定义各项为正数的数列pn的“美数”为np1p2pn(nN*)若各项为正数的数列an的“美数”为12n1，且 bnan14，则 1b1b2 1b2b31b2 018b2 019.2 0182 019解析：因为各项为正数的数列an的“美数”为12n1，所以na1a2an12n1.设数列an的前 n 项和为 Sn，则 Snn(2n1)，Sn 1(n1)2(n1)12n23n1(n2)，所以 anSnSn14n1(n2)又 1a113，所以 a13，满足式子 an4n1，所以 an4n1(nN*)又 bnan14，所以 bnn，所 以1b1b2 1b2b3 1b2 018b2 019 112 123 12 0182 019112121312 01812 019112 0192 0182 019.温示提馨请 做：课时作业 37PPT文稿（点击进入）
