1、阶段复习课第四讲【答案速填】_ _整除问题几何问题贝努利不等式类型 一利用数学归纳法证明恒等式数学归纳法证明恒等式的要点分析数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)nn0时结论成立.第二步(归纳递推)假设nk时，结论成立，推得nk+1时结论也成立.它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.【典例1】用数学归纳法证明：【证明】(1)当n1时，左边右边左边右边，所以等式成立.(2)假设nk(kN+)时等式成立，即有则当nk+1时，所以当nk+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对于一切nN+等式都成立.类型 二利用数学归纳法证明不等式
2、利用数学归纳法证明不等式的关键策略应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时，应分析p(k)与p(k+1)的差异及联系，利用拆、添、并、放等手段，从p(k+1)中分离出p(k)，再进行局部调整，也可考虑寻求二者的结合点，以便顺利过渡，利用归纳假设，经过适当放缩、恒等变形，得到结论需要的形式.【典例2】求证：【证明】(1)当n1时，因为所以原不等式成立.(2)假设nk(k1，kN+)时，原不等式成立，即有当nk+1时，因此，欲证明当nk+1时，原不等式成立，只需证明成立.即证明从而转化为证明也就是证明即从而于是当nk+1时，原不等式也成立.由(1)(2)可知，对于任意的正整数n，原不等式都
3、成立.类型 三利用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除问题的思路与方法(1)在使用数学归纳法证明整除问题时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂.熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的.其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“p(k)成立”是问题的条件，而“命题p(k+1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键.(2)用数学归纳法证明数或式的整除性问题时，常采取加项、减项的配凑法，而配凑的方法很多，关键是凑成nk时假设的形式.【典例3】证明n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.【证明】(1)当n=1时,xn+yn=x
4、+y,它能被x+y整除,所以n=1时命题成立.(2)假设当n=k(k为正奇数,k1)时,命题成立,即xk+yk能被x+y整除.当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2yk-x2yk=x2(xk+yk)+yk(y2-x2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(y-x).由归纳假设知,xk+yk能被x+y整除,(y+x)(y-x)也能被x+y整除.所以x2(xk+yk)+yk(y+x)(y-x)能被x+y整除.即xk+2+yk+2也能被x+y整除.故对n=k+2时命题也成立.由(1)(2)知命题对一切正奇数都成立.类型 四数学归纳法与数列的综合应用运用数学归
5、纳法时的注意事项(1)对项数要估算正确，特别是寻找nk与nk+1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.(2)必须利用归纳假设.(3)关键步骤要清晰明了，“假设nk时结论成立，利用此假设证明nk+1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，注意证明过程的严谨性、规范性.【典例4】已知正项数列an满足(1)求a1，a2，a3并推测an.(2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)由知当n2时，所以整理得：由即又a10，所以a11.即所以即所以可推测(2)由(1)知a11，满足故当n1时，成立.假设nk时，当nk+1时，即所以即当nk+1时，由知数列an的通项公式为【跟踪训
6、练】1.用数学归纳法证明“对于任意x0的正整数n，都有xn+xn-2+xn-4+n+1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()A.n01 B.n02C.n01,2 D.以上答案均不正确【解析】选A.nN+，n的最小值为n01.2.某个命题与正整数有关，如果当nk时，该命题不成立，那么可推得nk+1时命题也不成立，现在当n5时，该命题成立，那么可推得()A.当n6时该命题不成立B.当n6时该命题成立C.当n4时该命题不成立D.当n4时该命题成立【解析】选D.依题意当n4时该命题不成立，则当n5时，该命题也不成立.而当n5时，该命题成立却无法判断n6时该命题成立不成立，故选D.3.设0a
7、1，定义a11+a，求证：对一切nN+，均有【证明】用数学归纳法.(1)当n1时，a11，又显然成立.(2)假设nk(k1，kN+)时，当nk+1时，由递推公式，知同时，故当nk+1时，有综合(1)(2)可知，对一切正整数n，均有4.用数学归纳法证明：An=5n+23n-1+1(nN+)能被8整除.【证明】(1)当n=1时，A1=5+2+1=8，命题显然成立.(2)假设当n=k(k1，kN+)时，Ak能被8整除，即Ak=5k+23k-1+1是8的倍数,那么当n=k+1时，Ak+1=5k+1+23k+1=5(5k+23k-1+1)-4(3k-1+1)=5Ak-4(3k-1+1).因为Ak是8的倍
8、数，3k-1+1是偶数，即4(3k-1+1)也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数，即当n=k+1时，命题成立.由(1)(2)知对一切正整数n,An能被8整除.5.设数列an的前n项和为Sn，对一切nN+，点都在函数的图象上.(1)求a1,a2,a3的值.(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.【解析】(1)因为点在函数的图象上，故所以令n=1，得所以a1=2；令n=2，得所以a2=4；令n=3，得所以a3=6.(2)由上面的计算猜想：an=2n.用数学归纳法证明如下：当n=1时，由上面的求解知，猜想成立.假设n=k(k1)时猜想成立，即ak=2k成立，则当n=k+1时，注意到故两式相减，得所以ak+1=4k+2-ak.由归纳假设得，ak=2k,故ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2(k+1).这说明n=k+1时，猜想也成立.由知，对一切nN+，an=2n成立.
