1、金品质高追求我们让你更放心！数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)21 合情推理与演绎推理21.1 合 情 推 理金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)1了解合情推理的含义2能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)1归纳推理由某类事物的_具有某些特征，推出这类事物的_都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出_的推理称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2类比推理由_具有某些性质
2、特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有_的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理部分对象全部对象一般结论两类对象这些特征金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)3合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行_，然后提出猜想的推理，称之为合情推理通俗地说，合情推理是指“_”的推理归纳、类比合乎情理金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)1数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之
3、前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向合情推理的一般过程为从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)2解读归纳推理(1)归纳推理的分类完全归纳推理：由某类事物的全体对象推出结论不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论需要注意的是，由完全归纳推理得到的结论是准确的，由不完全归纳推理得到的结论不一定准确(2)归纳推理的特点由于归纳是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象，因而归纳推理具有以下特点：所得结论超越了前提所包含的范围；金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21
4、-2(配人教配人教AA版版)所得结论具有猜测性质，准确性需要证明；归纳的基础在于观察、实验或经验(3)归纳推理的一般步骤通过观察、分析个别情况，发现某些相同特征；将发现的相同特征进行归纳，推出一个明确表达的一般性命题(猜想)3解读类比推理(1)类比推理的特点类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)类比是以原有知识为基础，猜测新结论；类比能发现新结论，但结论具有猜测性，准确性需要证明(2)类比推理的一般步骤明确两类对象；找出两类对象之间的相似性或者一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得
5、到一个明确的结论金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)归纳推理对于任意正整数n，猜想2n与n2的大小解析：当n1时，2112；当n2时，2222；当n3时，2332；当n4时，2442；当n5时，2552；当n6时，2662；金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)由此可以归纳得出，当n3时，2nn2；当n2,4时，2nn2；当n1或n5，且nN时，2nn2.点评：这是典型的归纳推理模式，应该认真把握只是在取特殊值时，要多验证几个，力求探寻到一般性的规律，以免因为片面而导致错误金品质高追求我们让你
6、更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)跟踪训练1对于任意正整数n，猜想nn1与(n1)n的大小解析：当n1时，1221；当n2时，2332；当n3时，3443；当n4时，4554.由此可以归纳猜想，当n3且nN时，nn1(n1)n；当n3且nN时，nn1(n1)n.金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)2对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若m213511，n3的分解中最小的正整数是21，则mn()A10B11C
7、12D13B金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)数列an的前n项和Snn2an(nN*)，且a11，计算a2，a3，a4的值，由此猜想an的通项公式金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)点评：本题是求数列通项公式的一种基本模式，也是一种典型的归纳推理模式当然该结论也可以直接推导出来金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)跟踪训练金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)4已知数列an中，a13，a26
8、，an2an1an，则a2 012_.解析：易知a13，a26，a33，a43，a56，a63，a73，a86，a93T6，a2 012a26答案：6金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26B31 C32 D36金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)分析：本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一
9、块“公共”的有菱形纹正六边形解析：法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B.金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为65(61)31，
10、故选B.答案：B点评：对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)跟踪训练5如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察发现：第4个图形中，火柴棒有_根；第n个图形中，火柴棒有_根金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)解析：第1个图形有414根火柴，第2个图形有4217根火柴，第3个图形有43210根火柴，第4个图形有44313根火柴，由此归纳猜想：第n个图形中有4n
11、(n1)3n1根火柴答案：133n1金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)类比推理如右图，在三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SCSA，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为1，2，3，三侧面SBC，SAC，SAB面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出三棱锥SABC的一个猜想解析：如右图所示，在三角形ABC中，金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体SABC中，猜想：点评：从本例可以看出，在从平面三角形到空间四面体的类比过程中，三角
12、形的三条边对应于四面体的三个侧面，边长对应于面积，三个内角对应于四面体的三条侧棱与底面所成的角金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)6过棱锥各侧棱中点的截面叫做中截面，类比三角形中位线定理“A1B1AB且A1B1AB”，可得三棱锥中截面的性质定理：_.跟踪训练平面A1B1C1平面ABC，则SA1B1C1 SABC金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)在等差数列an中，有amanaras(其中mnrs)，类比以上结论得等比数列中的类似结论，并证之分析：等比数列中的乘法、乘方类比等差数列中的加法、乘
13、法解析：类比等差数列中的结论可得在等比数列bn中，bmbnbrbs(其中mnrs)证明如下：bmbnb1qm1b1qn1b qmn2，brbsb1qr1b1qs1b qrs2(其中q为公比)，又mnrs，bmbnbrbs.金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)点评：等差数列和等比数列是一对很好的类比对象，它们在很多方面可以进行类比等差数列中的加、减、倍数通常与等比数列中的乘、除、乘方相对应金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)跟踪训练7已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为
14、等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929D金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)在实数运算中有公式：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.类比以上结论得向量的运算公式并证明解析：对向量a，b，有(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.证明：(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)ba2baabb2a22abb2.(ab)(ab)(ab)a(ab)ba2baabb2a2b2.点评：类比是对知识进行串接梳理的好方法，在平时的学习与复习时，常常
15、把有类比关系的对象归纳整理，便于记忆与运用金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)1归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)2归纳推理的思维进程实验、观察概括、推广猜测一般性结论即对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，然后对该猜想的正确性加以检验金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)3一般地，归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠4运用类比推理的一般步骤如下：(1)找出两类事物
16、之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)5类比推理常见的几种题型如下：(1)类比定义：本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性以及运用新概念的准确性(2)类比性质(定理)：本类题型解决的关键在于要理解已知性质(定理)的内涵、应用环境及使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”(3)类比方法(公式)：本类题型解决的关键在于解题方法金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)基础训练1数列2,5
17、,11,20，x,47中的x等于()A28B32C33 D27B金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)2已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S(abc)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为()AV abcBV ShCV(S1S2S3S4)r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)DV(abbcca)h(h为四面体的高)金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的
18、面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)3(2011深圳二模)如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角剖形分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，依此类推，设第n个图中三角形被剖分成an个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为_；a100_.图1图2图3298金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)B金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(
19、配人教配人教AA版版)5下面使用类比推理正确的是()A“若a3b3，则ab”类推出“若a0b0，则ab”B“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”D“(ab)nanbn”类推出“(ab)nanbn”C金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)6如右图所示，面积为S的凸四边形的第i条边的边长记为ai(i 1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i 1,2,3,4)，若类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i 1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i 1,2,3,4)，若金品质
20、高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S(a1h1a2h2a3h3a4h4)，而在三棱锥中，体积为V(S1H1S2H2S3H3S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)7下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块(用含n的代数式表示)解析：第(1)、(2)、(3)、个图案黑色瓷砖数依次为：15312；24816；35
21、1520由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12(n1)44n8.答案：4n8金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)8（2013广州二模）数列an的项是由1或2构成，且首项为1，在第 k 个1和第 k+1 个1之间有2k-1个2，即数列an为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列an的前n项和为Sn,则S20=_；S2013=_.363981金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)9半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r式可
22、以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)的变量，请你写出类似于的式子：_.式可用语言叙述为:_.球的体积函数的导数等于球的表面积函数金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)10.（2013江门佛山二模）将集合2s+2t|0st且s，tZ 中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第 i 行第 j 列的数记为bij（ij0）,则b43=_.35 66 9 10 12 20金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)11在等差数列中，若
23、a100，则有不等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立类比上述性质，在等比数列中，若b91，则有不等式_成立解析：a10是等差数列的前19项的中间项，而b9是等比数列的前17项的中间项所以答案应为：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)12在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此猜测凸n边形有几条对角线.解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线；凸六边形有
24、9条对角线，比凸五边形多4条对角线；归纳猜测：凸n边形的对角线条数，比凸n1边形多n2条对角线，于是得到凸n边形的对角线条数为234(n2)n(n3)(n4，nN*)金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)真题再现1(2012江西卷)观察下列事实|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76B80C86D92解析：本题主要为数列的应用题，观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4，公差为4的等差数
25、列，则所求为第20项，可计算得结果答案：B金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)2(2012陕西卷)观察下列不等式:照此规律，第五个不等式为_金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)3(2012湖北卷)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)
26、b2012是数列an中的第_项；(2)b2k1_(用k表示)金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，的一个通项公式为an，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15.金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)点评：本题考查归纳推理，猜想的能力归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想金品质高追求我们让你更放心！返回返回数学数学选修选修1-21-2(配人教配人教AA版版)
