1、高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题本站投稿专用信箱：ks5u，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优三角函数的图象和性质高考选择题与填空题全面透析山东枣庄第八中学 于秀永 考情分析：1考试内容：五点作图；正余弦、正切函数的图象，定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性等.2考试要求：能画出的图象，了解三角函数的周期性；理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等）。理解正切函数在区间内的单调性。 3考点分析：三角函数的图象与性质是高考的一个热点，从近几年的高考来看，涉及到三角函数的知识或内容平均每年有22分，约占15，而试题内容主要集中在两个
2、方面：一是考查三角函数式的恒等变换；而是考查三角函数的性质和图象变换，尤其是三角函数的值域、单调性、周期性和图象的变换更是热点中的热点，这些是每年必考内容，一般是“一大一小”两题，试题的难度集中在中低档，且多数是课本中习题、例题的变形。4高考预测：预测在08年高考中可能仍会以基本题为主，由于近年来对三角变换的考查要求有所降低，因此，在今后必然会加强对三角函数的图象与性质的考查力度，其中三角函数的值域、单调性、奇偶性、周期性及图象的变换是考查的重点，是三角函数的主要题型。难度仍以中、低档题为主，有时也以小而活的选择题和填空题的形式出现，重在基础知识的考查，淡化特殊技巧，讲究通性通法。思前想后：1
3、三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求的值域；或化为关于（或）的二次函数式，在利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域。2、三角函数的单调性：函数的单调区间的确定，基本思路是把看作是一个整体，比如：由解出x的范围所得区间即为增区间，由解出x的范围所得区间即为减区间，对于余弦和正切函数类似可得。3三角函数的奇偶性的判别主要依据定义看与的关系，但同时也应注意三角函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，所以判定函数的奇偶性时，应首先判定函数的定义域在数轴上是否关于原点对称
4、。4周期函数的最小正周期T必须满足下列两个条件：当x取定义域内的每一个值时，都有；T是不为零的最小正数。一般地，若T为的周期，则nT（nZ）也是的周期。通常求函数的周期一般指的是最小正周期。 题型通法：1、与三角函数图象有关的题型（1）画三角函数的草图 这种题型主要考查学生对函数图象的画法的掌握，解答此题型的策略主要有两种：一个是利用“五点作图法，与基本的正余弦函数结合，找出五个关键点，对应求出坐标，从而画出草图；二是利用函数图象的变换求得。所求的函数可以通过基本的正余弦函数通过周期变换、振幅变换以及平移可得。例1 （2007年宁夏海南理）函数在区间的简图是（）解析：可以利用五点作图得到，也可
5、以通过先向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，取内的图象即可。当然更简单的方法是特殊点代入验证，比如取，故选A.（2）由图象观察性质 此类试题主要是作出所研究的函数的图象，然后通过图象观察函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性等例2（2007年天津文）设函数，则（ A ）A在区间上是增函数B在区间上是减函数C在区间上是增函数D在区间上是减函数解析：利用图象变换作出函数的草图，观察图形即得。故选A点评：此题主要考查三角函数草图的作法以及三角函数的性质，体现了数形结合的思想。利用图象研究函数的有关性质也是一种很重要的方法。（3）图象的变换例3（2007年山东卷文）要得到函数的图象，只需
6、将函数的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位解析： 由函数图象平移规律知选A点评：此题主要是考查三角函数的变换以及诱导公式。2、与三角函数性质有关的题型此类题型主要考查三角函数的值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性等以及它们的综合。这种题型是这部分知识点最主要的题型。（1） 三角函数的周期性例4（2007年上海理）函数的最小正周期 解析：先化简，易知最小正周期为点评：此题考查了三角函数的化简，体现了诱导公式和两角和的正弦公式的应用，同时与周期性结合，是一道综合性的题目。（2） 三角函数的单调性例5（07年江苏卷理）函数的单调递增区间是（ ）A B C D解
7、析：原函数可化简为，由及知应选B.（3） 三角函数的值域例6（2006年辽宁卷理）已知函数,则的值域是(A) (B) (C) (D) 解析:即等价于，故选择答案C。（4） 三角函数的对称性例7 （06年天津文）已知函数、为常数，的图象关于直线对称，则函数是（A）偶函数且它的图象关于点对称（B）偶函数且它的图象关于点对称（C）奇函数且它的图象关于点对称（D）奇函数且它的图象关于点对称解析：已知函数、为常数,， 的周期为2，若函数的图象关于直线对称，不妨设，则函数=，所以是奇函数且它的图象关于点对称，选D. 真题精讲：一、值域和最值问题1、（06年浙江理）函数的值域是（C）(A)-, (B)-,
8、(C) (D)解析：，故选择C。2、（05年全国卷文）当时，函数的最小值为（A）2（B）（C）4（D）解析： ，当且仅当，即时，取“”，存在使，这时，故选(C)二、单调性问题3、（06年全国卷理）函数的单调增区间为A BC D解析：函数的单调增区间满足， 单调增区间为，选C.4、（07年全国卷理）函数的一个单调增区间是（ ）ABCD解析：原函数可化简为，据复合函数的单调性易知应选A.点评：三角函数的单调性是考查的一个重点，通常考查求单调性方法的应用，比如图象法，利用导函数法，复合函数法等，当然中间还要涉及到三角函数的化简问题。5、（05年北京理）函数（ ）A在上递减B在上递减C在上递减D在上递
9、减解析：当或时 在上为增函数当或时 在上为减函数.故选A.点评：对二倍角余弦公式及两个变式的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用分类讨论的思想去掉绝对值然后再研究正切函数的单调区间.三、周期性问题6、（06年江西文）函数的最小正周期为（）解析:T，故选B7、（05年湖北文）函数的最小正周期与最大值的和为 .解析: 函数的最小正周期为2,|sinx|cosx的最大值为,的最大值为,的最小正周期与最大值的和为.7设函数为（ ）A周期函数，最小正周期为B周期函数，最小正周期为C周期函数，数小正周期为D非周期函数解析: ，因此为周期函数，且最小正周期为.选B.点评：本题也可根据三角函数周期定
10、义进行检验,将A、 B 、C 、D中的周期都代入,验证后,可得答案B,另外记住一些常用结论是必要的，例如的最小正周期,最小正周期.8、（07年辽宁文）函数的最小正周期是 （A） （B） （C）2 （D）4解析: D四、对称性和奇偶性9、（06年北京文）函数y=1+cosx的图象（ ） （A）关于x轴对称（B）关于y轴对称 （C）关于原点对称（D）关于直线x=对称解析：函数y=1+cos是偶函数，故选B10、（05年山东理）已知函数，则下列判断正确的是（A）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（B）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（C）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（
11、D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是解析：本题考查三角函数的变形及三角函数的图象的性质.=,它的周期为T=，对称中心的横坐标为x=, 当k=0时, 对称中心为.故选B。五、综合考查11、（07年北京理）对于函数，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）解析：函数，函数=是偶函数；且在上是减函数，在上是增函数；但对命题丙：=在x(,0)时，为减函数，排除函数，对于函数，函数不是偶函数，排除函数只有函数符合要求，选D。12、(07年安徽理)函数的图象为C图象关于直线对称;函灶在区间内是
12、增函数;由的图象向右平移个单位长度可以得到图象. （A）0（B）1（C）2（D）3解析：C.实际应用：三角函数模型的应用一般分为四步：（1） 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象。（2） 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。（3） 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型。（4） 根据所得模型的有关性质研究实际问题。例：在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如下表所示：日 期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期
13、位置序号x15980117126172225263298355存活时间y（小时）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年中该细菌一天内存活的时间y月日期位置序号x之间的函数关系。（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时。解析：（1）细菌存活时间与日期位置序号之间的函数关系式满足，由图表可知函数的最大值为 19.4，最小值为5.4，所以19.4-5.4=14，故A=7，由19.4+5.4=24.8,故t=12.4，又因为T=365，所以，当x=172时，所以。故（3） 由得所以可地。即
14、这种细菌大约有121天（或122天）中的存活大于15.9小时。点评；对于三角函数的实际应用题数量较少，今两年出现了一些这种类型的题目，主要是考查构造三角函数模型，利用三角函数的图象和性质处理实际问题。新信息题：对于三角函数图象和性质的创新试题的考查题型主要体现为与新课标中新知识点的综合应用以及开放性试题。此类题型主要的解题策略：在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，通过对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，实现新的信息与已有的三角函数图象和性质实现转化，提出解决问题的思路，创造性地解决问题，达到灵活解题的目的.例1、（05年湖南理）设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b
15、及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积，已知函数ysinnx在0，上的面积为（nN*），（i）ysin3x在0,上的面积为；（ii）ysin（3x）1在，上的面积为 .解析：由题意得：为一个半周期结合图象分析其面积为.点评：本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型题，能很好地考查学生分析思维能力经验公式：经验结论一：对于形如或的三角函数，当x 取对称轴对应的值时，函数取得最值；其对称中心在函数图象上。利用这一结论在求三角函数的对称轴和对称中心时我们可以采用代入验证法来解题。例（2007年福建理） 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A关于点对称B关于直线对称C关于点对称
16、D关于直线对称解析：易知，选择项B、D中将x对应的值代入函数不取得最值，排除，再将A、C分别代入，在函数图象上，所以选A。 自我检测：一、选择题1、（05年浙江卷文）函数的最小正周期是( )(A) (B) (C) (D) 提示：T=,选(B)2、（07年全国卷文）函数的一个单调增区间是（）提示：D.把函数化简成，求其单调递增区间或作图易得答案D.3、（06年全国理）函数ysin2xcos2x的最小正周期是（A）2 （B）4 （C） （D）提示：D.函数化简为可得答案。4、（07年江苏理）下列函数中，周期为的是（ ）A B C D提示：D.5.（07年全国卷理）函数的一个单调递增区间是(A)（，
17、）(B) （，）(C) （，）(D) （，2）提示：C.作出的图象，通过图象观察可得答案为C.6.（07年山东理）函数的最小正周期和最大值分别为（ ）A，B，C，D，提示：原函数化简为，故选A7、（07年福建文）函数y=sin(2x+)的图象A.关于点（，0）对称B.关于直线x=对称C.关于点（，0）对称D.关于直线x=对称提示：A。由得函数的对称中心为，令k=1得答案A.8、（06年福建卷理）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于（A）（B）（C）2（D）3提示：函数在区间上的最小值是，则x的取值范围是， 或， 的最小值等于，选B.9、（05年浙江理）已知k4，则函数ycos2xk(co
18、sx1)的最小值是( )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k1提示：ycos2xk(cosx1)=2cos2x+ k(cosx1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx1时,cosx-12cos2x-4(cosx1)-1=2(cosx-1)2+11,故y的最小值为1,选A10、（2005贵州）若函数是周期为的奇函数，则可以是（ ）A、 B、 C、 D、提示：B.因为，其周期为。11、(2006黄岗)已知函数的图象上相邻的两条对称轴的距离是，则的一值是（ ）A、 B、 C、 D、提示：两条对称轴之间的距离是个周期，所以周期为，原函数化简后可得可以为，故选C.12、(2005北
19、京春)对任意的锐角、，下列不等关系中正确的是 （ ）A、 B、C、 D、提示： ，而在上递减。，同理，故选C二、填空题13、（07年四川理）下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是a|a=|.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数函数其中真命题的序号是 （写出所有的真命题序号）提示： ，正确；错误；，和在第一象限无交点，错误；正确；错误故选14、（06年湖南理）若是偶函数, 则有序实数对可以是_ _.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)提示：ab0，是偶函数，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=1.15、(07年安徽文)函数的图象为C,如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号).图象C关于直线对称;图象C关于点对称;函数)内是增函数;由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.提示：，图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；正确；同理正确；x时，(，)， 函数在区间内是增函数；正确；由的图象向右平移个单位长度可以得到，得不到图象，错误； 正确的结论有3个，。16、（05年上海理）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_提示：从图象可以看出直线有且仅有两个不同的交点时, 共13页第13页
