1、第四节 不等式的综合应用基础达标1.(必修5P94第4题改编)已知(ax1)(x1)0的解集是x|x1或x3，则a的值为_解析：由不等式解集是x|x1或x3，可知3，所以a2.已知0a1，则x，y，z大小关系为_解析：xloga，yloga，zloga，由0a1知其为减函数，yxz.3.设A、B是两个集合，定义ABx|xA且xB若Ax|x1|3，Bx|x3|cos|，R，则AB_.解析：由|x1|3得2x4，Ax|2x4；由x3|cos|0,3知Bx|0 x3由定义ABx|xA且xB，得AB2,0)(3,44.数列an中，an0，且anan1是公比为q(q0)的等比数列，满足anan1an1a
2、n2an2an3(nN)，则公比q的取值范围是_解析：方法一：设anan1(a1a2)qn1，不等式可化为(a1a2)qn1(a1a2)qn(a1a2)qn1.an0，q0，q2q10，0q方法二：令n1，不等式变为a1a2a2a3a3a4，a1a2a1a2qa1a2q2.a1a20，1qq2，解得0q5.(必修5P94第7题改编)设O为坐标原点，M(2,1)，若点N(x，y)满足则|cosMON的最大值为_.解析：由向量的投影的定义可知|cosMON令z2xy，作出可行域，易得在点(5,2)处目标函数z2xy取得最大值12，故|cosMON的最大值为经典例题题型一 集合中的不等式问题【例1】
3、已知集合A又ABx|x2axb0，则ab_.分析：化简集合A与B，求出它们的交集，然后可利用一元二次方程的根与系数关系，求出a，b.解：2x22x3 3(x1)233x，即x2x60，3x2，A(3,2)，由得1x3，B(1,3)，AB(1,2)方程x2axb0的两个根为1和2，则a1，b2，ab3.变式11集合ABx|xb|a，若“a1”是“AB”的充分条件，则b的取值范围是_ 解析：由题意得：A：1x1，B：baxab，由“a1”是“AB”的充分条件则A：1x1与B:b1x1b交集不为空，所以2b2，检验知能使AB.题型二 函数中的不等式问题【例2】已知f(x)是定义域在(0，)上的单调递
4、增函数，且满足f(6)1，f(x)f(y)(x0，y0)，则不等式f(x3)2的解集是_分析：利用函数单调性，“脱去”f符号，并注意函数定义域，把原问题转化为解不等式组解：由f(x3)2f(6)及单调性，知fx(x3)f(6)f(6)，得变式21 如图是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列(nN*)的项，则所得y值中的最小值为_Read xIf x5Thenyx2Elsey5xEnd IfPrint y解析：x本算法程序的算法功能是求分段函数y的函数值，且在4，)上是增函数，故当x4时得y的最小值为16.题型三 方程中的不等式问题【例3】对于函数f(x)，若存在x0R使f(x
5、0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)ax2(b1)x(b1)(a0)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围分析：函数f(x)恒有两个相异的不动点，即f(x)x恒有两个不等根，于是考查判别式.解：由题意知方程f(x)ax2(b1)x(b1)x，即ax2bx(b1)0恒有两个相异的实数根，即b24ab4a0对于bR恒成立于是关于b的方程b24ab4a0的(4a)216a0，解得0a1.变式31 关于x的方程9x(4a)3x40恒有解，求实数a的取值范围解析：设3xt，则t0.故原方程有解等价于关于t的方程t2(4a)t40有正根即解得a8.题型四 三
6、角函数中的不等式问题【例4】当m为何值时，不等式msin2xcos x2 对x恒成立？分析：利用参变量分离法，转化为三角函数的最值问题解：msin2xcosx2m2cos2xcosx(1)2又xcosx（cosx+）23的最小值为4.要使msin2xcosx2 恒成立解得0m9.当0m9时，不等式msin2xcosx在x上恒成立变式41已知定义在(，4上的减函数f(x)，使得f(msinx)求实数m的取值范围对一切实数x均成立，解析：由题意可得即对xR恒成立，sin2xsinx4sinx3，又m m或m3.链接高考(2010全国)已知函数f(x)(x1)ln xx1.(1)若xf(x)x2ax
7、1，求a的取值范围；(2)证明：(x1)f(x)0.知识准备：1.会对函数f(x)(x1)ln xx1求导，将xf(x)x2ax1化简；2.通过参变量分离，会用导数法求函数的最值；3.能领会应用函数与方程思想、化归与转化思想解析：(1)f(x)故xf(x)xlnx1，由题设xf(x)x2ax1等价于ln xxa.令g(x)lnxx，则g(x)当0 x1，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，即g(x)g(1)1.综上，a的取值范围是1，)(2)由(1)知，g(x)g(1)1，即ln xx10.当0 x1时，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)0；当x1时，f(x)lnx(xlnxx1)lnxlnxx（ln +1）0，所以(x1)f(x)0.
