1、第3讲基本不等式最新考纲考向预测1.探索并了解基本不等式的证明过程.命题趋势本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，难度中等.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.核心素养数学运算、逻辑推理1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是
2、(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号常见误区1应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”忽略任何一个条件，就会出错；2在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab成立的条件是ab0.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值是2
3、.()答案：(1)(2)(3)(4)2(易错题)若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2解析：选D.因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.3若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A1B1C3D4解析：选C.当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，故选C.4设0x1，则函数y2x(1x)的最大值为_解析：y2x(1x)2.当且仅当x1x，即x时，等号成立答案：5若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最
4、大面积是_m2.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10x)m，由题知0x1)，当xa时，y取得最小值b，则2a3b()A9B7C5D3(2)已知0x1，所以x10，所以yx4x15251，当且仅当x1，即x2时取等号，所以y取得最小值b1，此时xa2，所以2a3b7.(2)x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时，取等号【答案】(1)B(2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)
5、代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 技法二常数代换法求最值 已知a0，b0，ab1，则的最小值为_【解析】52549.当且仅当ab时，取等号【答案】9【引申探究】1(变问法)若本例中的条件不变，则的最小值为_解析：因为a0，b0，ab1，所以222 4，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立答案：42(变条件)若本例条件变为：已知a0，b0，4ab4，则的最小值为_解析：由4ab4得a1，2.当且仅当4ab时取等号答案：常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式
6、与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值 技法三消元法求最值 (2020高考江苏卷)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_【解析】方法一：由5x2y2y41得x2，则x2y22，当且仅当，即y2时取等号，则x2y2的最小值是.方法二：4(5x2y2)4y2(x2y2)2，则x2y2，当且仅当5x2y2 4y22，即x2，y2时取等号，则x2y2的最小值是，【答案】消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解但应注意保留元的范围 1
7、设x，yR，且xy0，则的最小值为()A9B9C10D0解析：选B.5x2y2529，当且仅当xy时，上式取得等号，可得最小值为9.2(2021湖北八校第一次联考)已知x0，y0，且1，则xy的最小值为()A12B16C20D24解析：选B.由题意知xy(xy)1912916，当且仅当，即时取等号，故选B.3设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz的最大值为()A0BC2D解析：选C.zx24y23xy2(x2y)3xyxy，当且仅当x2y时等号成立，此时取得最小值，于是x2yz2y2y2y22y(2y)22，当且仅当y1时等号成立，综上可得，当x2，y1，z2时
8、，x2yz取得最大值2.利用基本不等式解决实际问题 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y当该型号汽车的速度为_km/h时，每小时耗油量最少，最少为每小时_L.【解析】当x50，80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，所以当x65时，y取得最小值，最小值为6759.当x80，120时，函数y12单调递减，故当x120时，y取得最小值，最小值为1210.因为93，y3，则yab33a3，所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)1 8083xy1 8083x1 8081 80821 8082401 5
9、68，当且仅当3x，即x40，y45时等号成立，S取得最大值，所以当x40，y45时，S取得最大值为1 568.答案：1 568思想方法系列2应用基本不等式的常见技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值常见的变形技巧有以下几种：技巧一加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f(x)x(x3)的最大值是()A4B1C5D1思路点拨由于已知条件x3，x30，先将f(x)转化为f(x)3，再用基本不等式求最值【解析】因为x0，所以f(x)3231.当且仅当3x，即x1
10、时等号成立，所以f(x)的最大值是1.【答案】D技巧二平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值 若x0，y0，且2x28，求x的最大值思路点拨由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值【解】(x)2x2(62y2)32x233.当且仅当2x21，即x，y时，等号成立故x的最大值为.技巧三展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值 已知a0，b0且ab2，求的最小值思路点拨由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值【解】由题得111，因为a0，b0，
11、ab2，所以22，所以ab1，所以1.所以4(当且仅当ab1时取等号)，所以的最小值是4.技巧四形如型函数变形后使用基本不等式若y中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值 求函数y(x1)的值域思路点拨将(x5)(x2)用(x1)来表示再变形为f(x)AxC的形式，然后运用基本不等式求解【解】因为yx15，当x10时，即x1时，y259(当且仅当x1时取等号)；当x10，即x1时，y521(当且仅当x3时取等号)所以函数的值域为(，19，)技巧五用“1”的代换法求最值 若a，b为常数，且0x1，求f(x)的最小值思路点拨根据待求式的特征及0x0，1x0.又1x(1x)，因此可考虑利用“1”的代换法【解】因为0x0.所以(x1x)x(1x)x(1x)a2b2a2b22ab(ab)2.当且仅当时，等号成立所以(ab)2.故函数f(x)的最小值为(ab)2.技巧六代换减元求最值 (2021天津模拟)已知a0，b0，c0，若点P(a，b) 在直线xyc2上，则的最小值为_思路点拨本题由已知条件求出a，b，c的关系，再利用均值不等式求最值【解析】因为P(a，b)在xyc2上，所以abc2，ab2c0，1，设则mn2，332 32，当且仅当m22n2，即c22时，等号成立，所以132122，即的最小值为22.【答案】22
