1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节 数系的扩充与复数的引入最新考纲考情分析1.理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.本节是高考考查的重点内容，主要考查复数的基本概念、复数的几何意义、复数代数形式的四则运算等方面的内容2命题形式多样化，以选择、填空题为主，多为运算题型，属容易题、送分题.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 复数的概念1复数的概念形如 abi(a，bR)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的
2、实部和 若 b0，则 abi 为实数；若 b0，则 abi 为虚数；若 ，则 abi 为纯虚数2复数相等：abicdi (a，b，c，dR)虚部a0 且 b0ac 且 bd3共轭复数：abi 与 cdi 共轭 (a，b，c，dR)4复数的模向量OZ 的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.ac，bda2b2知识点二 复数的几何意义1复数 zabi一一对应复平面内的点 Z(a，b)(a，bR)2复数 zabi(a，bR).平面向量OZ知识点三 复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1
3、z2(abi)(cdi)；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)；(4)除法：z1z2abicdiabicdicdicdi(cdi0)(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)iacbdc2d2 bcadc2d2 i2复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3C，有 z1z2，(z1z2)z3z2z1z1(z2z3)注意以下结论：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)(2)z z|z|2|z|2，|z1z2|z1|z2|，z1z2|z1
4、|z2|，|zn|z|n.(3)复数加法的几何意义：若复数 z1，z2 对应的向量OZ1，OZ2 不共线，则复数 z1z2 是以OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数(4)复数减法的几何意义：复数 z1z2 是OZ1 OZ2 Z2Z1 所对应的复数1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)方程 x2x10 没有解()(2)复数 z32i 中，虚部为2i.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)若 aC，则|a|2a2.()解析：(1)方程 x2x10 有复数解(2)复数 z32i 中，虚部为2.(3)虚数不能比较大小(4)若 aC，则
5、|a|2 是实数，但 a2 未必是实数，所以|a|2 与 a2不一定相等2小题热身(1)(2019全国卷)设 z32i，则在复平面内 z 对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限C解析：由题意，得 z32i，其在复平面内对应的点为(3，2)，位于第三象限，故选 C.(2)12i12i()A4535i B4535iC3545i D3545iD解析：12i12i12i212i12i34i53545i.(3)若复数 z a1i1 为纯虚数，则实数 a()A2 B1C1 D2A解析：因为复数 z a1i1a1i1i1i1a21a2i为纯虚数，所以a210，且a20，解得 a2.故选
6、 A.(4)i 为虚数单位，若复数(1mi)(i2)是纯虚数，则实数 m 等于.(5)设复数 z12i，z2a2i(i 是虚数单位，aR)，若 z1z2R，则 a.2解析：因为(1mi)(i2)2m(12m)i 是纯虚数，所以 2m0，且 12m0，解得 m2.4解析：依题意，复数 z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i是实数，因此 4a0，a4.02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 复数的概念【例 1】(1)(2020贵州适应性考试)已知 i 为虚数单位，若复数 z12 32 i，则复数1z的虚部为()A 32 i B 32C.32 i D.32B(2)(2020广东
7、七校联考)设 aR，复数 zai3i(i 是虚数单位)的实部为 2，则复数 z 的虚部为()A7 B7C1 D1(3)(2020郑州质检)若复数bi2i为纯虚数，则实数 b 等于()A3 B12 C.13 D1CB【解析】(1)1z112 32 i12 32 i12 32 i12 32 i12 32 i143412 32 i，所以1z的虚部为 32.故选 B.(2)zai3iai3i3i3i3a1a3i10，则3a110 2，则 a7，所以复数 z 的虚部为a3101，故选 C.(3)因为bi2ibi2i2i2i2b12bi5为纯虚数，所以2b10，2b0，解得 b12，故选 B.方法技巧解决
8、复数概念问题的方法及注意事项1复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件的问题，只需把复数化为 abia，bR的形式，列出实部和虚部满足的方程不等式组即可.2解题时一定要先看复数是否为 abia，bR的形式，以确定实部和虚部.1已知 aR，复数 zai1i为纯虚数(i 为虚数单位)，则 a()A 2B1C1 D.2B解析：zai1i1i1ia12 a12 i.由题意，得a12 0 且a12 0，解得 a1.2若复数 z 满足 iz12(1i)，则 z 的共轭复数的虚部是()A12i B.12iC12D.12C解析：由题意，得 z121ii 12i1ii21212i，
9、所以 z 的共轭复数的虚部是12，故选 C.考点二 复数的几何意义【例 2】(1)在复平面内，复数1i1i21对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)(2019全国卷)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21BC【解析】(1)由题意得1i1i21 1i12i1535i，该复数在复平面内所对应的点位于第二象限故选 B.(2)解法 1：z 在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选 C.解法 2：|zi|1 表
10、示复数 z 在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为 1，x2(y1)21.故选 C.解法 3：在复平面内，点(1,1)所对应的复数 z1i 满足|zi|1，但点(1,1)不在选项 A，D 的圆上，排除 A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数 z2i 满足|zi|1，但点(0,2)不在选项 B 的圆上，排除 B.故选 C.方法技巧1已知复数 z 满足(1i)2z12i，则复数 z在复平面内对应的点为()A.1，12B.1，12C.12，1D.12，1A解析：复数 z 满足(1i)2z12i，则 z 12i1i212i2i 12ii2i2 2i2112i，所以 z112i，即复数
11、 z在复平面内对应的点为1，12，故选 A.2复数11ai(aR)在复平面内对应的点在第一象限，则 a 的取值范围为()Aa0 B0a1 Da0，a1a20，由此可得 a 的取值范围为 a0，故选 A.考点三 复数的运算【例 3】(1)(2019全国卷)若 z(1i)2i，则 z()A1i B1iC1i D1i(2)已知 i1iabi(a，bR，i 是虚数单位)，则|abi|()A1 B.12C.2D.22DD【解析】(1)z 2i1i2i1i1i1i22i21i.(2)由题得 i(1i)(abi)(ab)(ab)i，则ab0，ab1，解得a12，b12，所以1212i 122122 22，故
12、选 D.方法技巧(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；1i1ii；1i1ii；abiibai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)1已知 i 为虚数单位，则复数13i1i()A2i B2iC12i D12iC解析：复数13i1i 13i1i1i1i 24i212i.故选C.2.1i1i6 2 3i3 2i.1i解析：原式1i226 2 3i 3 2i 32 22i6 62i3i 651i.3.2 2i345i54i1i.4 2i解析：2 2i345i54i1i2 21i3i54i54i1i2 21i4i2 2i(1i)4 2i(1i)22 2i(2i)24 2i.温示提馨请 做：课时作业 32PPT文稿（点击进入）
