1、第六节 和、差、倍角的三角函数(2)基础梳理1.两角差的余弦公式为_；两角和的余弦公式为_；两角差的正弦公式为_；两角和的正弦公式为_；上述公式对任意的a、b都成立cos(a-b)=cos acos b+sin asin bcos(a+b)=cos acos b-sin asin bsin(a-b)=sin acos b-cos asin bsin(a+b)=sin acos b+cos asin b2.公式T(a-b)是_ _ _，公式T(a+b)是_，它们成立的条件是_3.二倍角公式在S(a+b)中，令_，可得到sin 2a=_，简记为S2a.在C(a+b)中，令_，可得到cos 2a=_
2、，简记为C2a.在T(a+b)中，令_，可得到tan 2a=_，简记为T2a.b=ab=ab=a2sin acos acos2a-sin2a4.在C2a中考虑sin2a+cos2a=1可将C2a变形为cos 2a=cos2a-sin2a=_=_，它简记为C2a.2cos2a-11-2sin2a5.半角公式在C2a中，用_得cos a=2cos2 -1=1-2sin2将公式变形可得a代替a6.升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cos 2a=_；1-cos 2a=_.降幂公式：cos2a=_；sin2a=_；tan2=_.2cos2a2sin2a7.派生公式(1)(sin
3、 acos a)2=_；(2)1+cos a=_；(3)1-cos a=_；(4)tan a+tan b=_.1sin 2a2cos22sin2tan(a+b)(1-tan atan b)基础达标1.(必修4P115第5题改编)若则解析：由得解得解析：而cos x-1,1，则函数的最大值为3.不查表求值：tan 20+4sin 20=_.2.(2011 黄桥中学高三期中试题)函数f(x)=cos x-cos2x(xR)的最大值等于_解析：tan 20+4sin 20=4.在ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos 2C=_.解析：SABC=5.若f(tan x)=sin 2
4、x，则f(-1)的值是_解析：f(tan x)=sin 2x=即f(x)=f(-1)=经典例题题型一 sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之间的转换问题【例1】已知-x0，sin x+cos x=.(1)求sin x-cos x的值；(2)求的值分析：由(sinx-cosx)2=(sinx+cosx)2-4sinxcosx知，只需求出sinxcosx即可解：(1)方法一：由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即2sinxcosx=-.(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=，又-x0，sinx0，cosx0，sinx-co
5、sx0，sinx-cosx=-方法二：联立方程由得sinx=-cosx，将其代入，整理得25cos2x-5cosx-12=0，cosx=-或cosx=，-x0，sinx-cosx=-=sinxcosx(2-cosx-sinx)变式 1-1已知求及tan 解析：由题设条件，应用两角差的正弦公式得即由题设条件，应用二倍角余弦公式得故由和式得因此由两角和的正切公式得题型二 三角恒等式证明【例2】在ABC中，已知sinAcos2 +sinCcos2 =sinB求证：sinA+sinC=2sinB.分析：条件与结论不仅在角上存在差异，而且在式子的结构上存在较大的差异，条件是一个三次式，而结论是一个一次式
6、，为缩小这种差异，需对条件进行降次等变形证明：由得化简得即故sinA+sinC=2sin B.变式2-1 已知A、B为锐角，求证：A+B=的充要条件是(1+tanA)(1+tanB)=2.解析：充分性：(1+tanA)(1+tanB)=2，1+(tanA+tanB)+tanAtanB=2，且tanAtanB1，tan(A+B)(1-tanAtanB)=1-tanAtanB，tan(A+B)=1，0A，0B，0A+B，A+B=.必要性：A+B=，tan(A+B)=tan ，即=1，整理得(1+tanA)(1+tanB)=2.综上，若A、B为锐角，则A+B=的充要条件是(1+tan A)(1+tan B)=2.题型三 三角恒等变换中角的拆、拼【例3】已知且求分析：抓住条件中的角与结论中的角的关系：解：
