1、第二节 导数的应用（1）基础梳理1.函数的单调性对于函数y=f(x)，在某区间上，如果f(x)0，那么f(x)在该区间上是_；如果f(x)0，那么f(x)在该区间上是_2.函数的极值(1)如果在x0附近的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0，且f(x0)_0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0，且f(x0)_0，那么f(x0)是极小值(3)函数的极大值、极小值统称为函数的极值答案：1.增函数 减函数2.(1)=(2)=基础达标1.函数y=3x-x3的单调递增区间为_2.设f(x)=x3-12x，则f(x)的极大值与极小值分别是_3.(选修2-2P29例
2、2改编)定义在R上的函数f(x)=2x3+ax2+7在区间(-，0)和(2，+)上为增函数，在(0,2)上为减函数，则a的值为_4.若函数f(x)=acos x+sin 2x在x=处有极值，则a=_.5.函数y=x+的极大值是_答案：1.(-1,1)解析：由y=3-3x2=3(1+x)(1-x)0，解得-1x1.2.16，-16 解析：f(x)=3x2-12，令f(x)=0，x=2.列表如下：x(-，-2)-2(-2,2)2(2，+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值由上表可知，当x=-2时，有极大值f(-2)=16；当x=2时，有极小值f(2)=-16.3.-6 解析：f(x)=6x2+
3、2ax=2x(3x+a)，由于函数f(x)在区间(-，0)和(2，+)上为增函数，在(0,2)上为减函数，则f(x)=2x(3x+a)=0的两根分别为0和2，所以32+a=0，即a=-6.4.-1 解析：f(x)=-asin x+cos 2x，在x=处有极值，f =0，-asin +cos p=0，a=-1.5.-4 解析：y=1-，令y=0得x=-2或x=2，在x=-2的左侧y0，x=-2的右侧y0，从而y在x=-2处取极大值，极大值为-4.同理，可判断y在x=2处取极小值经典例题题型一 函数的单调区间与导数【例1】(2010辽宁改编)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1，试讨论
4、函数f(x)的单调性解：f(x)的定义域为(0，+)f(x)=+2ax=，当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，+)上单调增加；当a-1时，f(x)0，故f(x)在(0，+)上单调减少；当-1a0时，令f(x)=0，解得x=.则当x 时，f(x)0；x 时，f(x)0.故f(x)在上单调增加，在上单调减少变式1-1 已知f(x)=ex-ax-1，试求f(x)的单调递增区间解：f(x)=ex-ax-1，f(x)=ex-a.令f(x)0，得exa，当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(-，+);当a0时，f(x)的单调增区间为ln a
5、，+)题型二 利用函数的单调性确定参数【例2】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)由已知f(x)=3x2-a.f(x)在(-，+)上是单调增函数，f(x)=3x2-a0在(-，+)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20，只需a0，又a=0时，f(x)=3x20，f(x)=x3-1在R上是增函数，a0.(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2在x(-1,1)上恒成立-1x1，3x23，只需a3.当a3时
6、，f(x)=3x2-a在x(-1,1)上恒有f(x)0，即f(x)在(-1,1)上为减函数故存在实数a3，使f(x)在(-1,1)上单调递减变式2-1 已知函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+(3m+6)x+1(m0)，且函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数m的值为_.答案：-4解析：f(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6，由已知可得f =0，即m-3m-3+3m+6=0，解得m=-4.题型三 函数的极值与导数【例3】(2010安徽改编)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR.求f(x)的单调区间与极值解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex
7、-2，xR.令f(x)=0，得x=ln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，ln 2)ln 2(ln 2，+)f(x)-0+f(x)极小值2(1-ln 2+a)故f(x)的单调递减区间是(-，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，+)，f(x)在x=ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a)变式3-1 已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于点(1,0)，求f(x)的极值解：f(x)过点(1,0)，f(1)=1-p-q=0.f(x)=3x2-2px-q，且f(x)与x轴相切于点(1,0)，f(1)=
8、3-2p-q=0.解方程组得f(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1)，其图象如图所示，f(x)极大值=f =3-2 2+=，f(x)极小值=f(1)=13-212+1=0.题型四 利用函数的极值确定参数【例4】(2010全国)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.(1)设a=2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围解：(1)当a=2时，f(x)=x3-6x2+3x+1，f(x)=3(x-2+)(x-2-)当x(-，2-)时，f(x)0，f(x)在(-，2-)上单调递增；当x(2-，2+)时，f(x)0，f(x)在(2-，2+)
9、上单调递减；当x(2+，+)时，f(x)0，f(x)在(2+，+)上单调递增综上，f(x)的单调递增区间是(-，2-)和(2+，+)，f(x)的单调递减区间是(2-，2+)(2)f(x)=3(x-a)2+1-a2当1-a20时，f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点当1-a20时，f(x)=0有两个根，x1=a-，x2=a+.由题意知2a-3，或2a+3，由解得为a，因此a的取值范围是.变式4-1 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_答案：(-，-3)(6，+)解析：f(x)=3x2+2ax+(a+6)，由于函数f(x)有极大值和极
10、小值，则方程3x2+2ax+(a+6)=0有两个不同实根，所以=4a2-12(a+6)0，解得a-3或a6.易错警示【例】函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值错解f(x)=3x2+2ax+b，由题意知，f(1)=0，且f(1)=10，即2a+b+3=0，且a2+a+b+1=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.错解分析 错误的主要原因是把f(x)为极值的必要条件当成了充要条件.正解：f(x0)为极值的充要条件是f(x0)=0且f(x)在x=x0附近两侧的符号相反所以“错解”后面应该加上：当a=4，b=-11时，f(x)=3x2+8x-11=(3x+
11、11)(x-1)在x=1附近两侧的符号相反，a=4，b=-11满足题意；当a=-3，b=3时，f(x)=3(x-1)2在x=1附近两侧的符号相同，a=-3，b=3应舍去a=4，b=-11.链接高考(2010安徽)设函数f(x)=sin x-cos x+x+1,0 x2p，求函数f(x)的单调区间与极值知识准备：1.要知道由函数f(x)的导函数f(x)0可得到函数的增区间，而由f(x)0可得到函数的减区间2.如果函数f(x)在x=x0两侧单调性相反，则函数f(x)在x=x0处有极值解：由f(x)=sin x-cos x+x+1,0 x2p，知f(x)=cos x+sin x+1，即f(x)=1+sin .令f(x)=0，即sin =-，解得x=p或x=，当x(0，p)时，f(x)0；当x 时，f(x)0；当x 时，f(x)0.所以函数f(x)的单调增区间为(0，p)和，单调减区间是.f(x)极小值=f =，f(x)极大值=f(p)=p+2.
