1、第六单元数列第一节数列的概念与简单表示法基础梳理1.数列的概念按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的.数列中的每一项都和它的有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做),往后各项依次叫做这个数列的第2项，第n项，.数列的一般形式可以写成，其中是数列的第n项，我们把上面的数列简记为.a1,a2,a3,an,顺序项序号首项anan2.数列的分类（1）根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列项数的数列；无穷数列项数的数列.有限无限大于小于相等（2）按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列；递减数列从第2项起，每一项都它的前一
2、项的数列；常数列各项的数列；摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.f(1),f(2),f(3),f(n),3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*（或它的有限子集1,2,3,n）为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,n,)有意义，那么我们可以得到一个数列.第n项与序号n之间的关系式子通项公式an=f(n)4.数列的通项公式如果数列an的可以用一个来表示，那么这个公式叫做这个数列的,记作.5.递推公式如果已知数列an的首项（或前n项)，且的关系可
3、以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.任一项an与它的 前一项an-1（或前几项）间图象法列举法列表法解析法6.数列的简单表示法:、.7.数列an与Sn之间的关系Sn=a1+a2+a3+an，an=8.数列an中，若an最大，则若an最小，则S1Sn-Sn-1an+1an-1an-1an+1基础达标1.下列说法正确的是()A.数列1，3，5，7可表示为1,3,5,7B.数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同的数列C.数列的第k项为D.数列0，2，4，6，可记为2n解析：数列可简记为an，其中nN*,且数列的项具有有序性.故选C.2.（教材改编题）设数列an满足则a4
4、=()A.2 B.C.D.解析：逐步代入，求值得a2=2,a3=,a4=.故选C.3.现有一个数列an，其中a1=3,a2=6,an+2=an+1-an，那么这个数列的第五项是()A.6 B.-3 C.-12 D.-6解析：an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,即an+3=(an+1-an)-an+1=-an,a5=-a2=-6.故选D.4.数列an的前n项和Sn=n2-2n,则a4等于()A.-7 B.-1 C.0 D.1解析:a4=S4-S3=(42-24)-(32-23)=-1.故选B.经典例题题型一根据所给数列前几项求通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式，使它的
5、前几项分别是下列各数.分析:写出数列的通项公式，应注意观察数列中各项和项数n的联系和变化情况，应特别注意正整数列、正奇数列、正偶数列与（-1）n相关的数列、等差数列、等比数列，以及由它们组成的数列，从其中找出规律，并分别写出通项公式.解：（1）这是一个分数数列，分子为偶数列，而分母为13,35,57,79,911,是两个连续奇数的积，故所求数列通项公式为an=(2)原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，1,0,-1,0,呈周期性变化，可以用sin 表示，当然也可以用cos 表示.故an=或an=.分母依次为1,2,3,4,分子为(3)数列中的每一项均可以看作是10的若干次幂与1的差，则通项
6、公式为an=10n-1.变式1-1n个连续自然数按规律排成下表：0 3 4 78 11 12 5 6 9 10根据规律，从2009到2011的箭头方向依次为()A.B.C.D.解析:可认为箭头方向具有周期性，周期为4，2009=4502+1.故选B.题型二由an与an+1（或an-1）的关系求通项公式【例2】a1=1,an=(n2),nN*,求an.题型三利用数列的前n项和Sn求an【例3】已知数列an的前n项和Sn=2n2-3n,求an的通项公式.分析:当n2时，由an=Sn-Sn-1求出an，再验证当n=1时a1=S1是否适合上式.解：a1=S1=2-3=-1;当n2时，an=Sn-Sn-
7、1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,由于a1也适合此等式，an=4n-5.解：方法一：an=(n2),以上n-1个式子等号两边分别相乘得an=a1方法二:an=(n2),nan=(n-1)an-1=1a1=1,an=.变式3-1解析：a8=S8-S7=(28-1)-(27-1)=27=128.题型四数列的函数性质及综合应用【例4】已知函数f(x)=2x-2-x,数列an满足f(log2an)=-2n.(1)求数列an的通项公式；（2）求数列an的最大项.分析:（1）利用已知得an的方程，求an；（2）作差（商）判断数列的单调性，求最大值.(2011湖南雅礼中学月考)已
8、知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n-1,则a8=解:（1）f(log2an)=即又由log2an可知an0.(2)an=,数列an是关于n的递减数列，最大项为a1=-1.解得an=an=变式4-1设函数f(x)=log2x-logx2(0 x1)，数列an满足f()=2n(nN*),求数列an的通项公式.解：由已知得0 x1,即0 1=20,an0,故an=即解得an=易错警示【例】已知数列an的前n项和Sn=3n+b,求数列an的通项an.错解an=Sn-Sn-1=3n+b-3n-1-b=23n-1.错解分析错解中公式应用错误，未讨论n=1时的情况.正解：当n=1时，a1=S1=3+b;n2时,an=Sn-Sn-1=23n-1.当b=-1时，a1=2适合an=23n-1,an=23n-1;当b-1时，a1=3+b不适合an=23n-1.综上可知，当b=-1时，an=23n-1;当b-1时，
