1、第五节 数列的综合应用基础梳理1.解答数列应用题的基本步骤（1）审题仔细阅读材料，认真理解题意;（2）建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么;（3）求解求出该问题的数学解;（4）还原将所求结果还原到原实际问题中.2.数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定值时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.其一般形式是：an+1-an=d(常数).(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.其一般形式是:100%=q(常数).(3)混合模型：在一个问题中同时涉
2、及到等比数列和等差数列的模型.（4）生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）,称该模型为生长模型，如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.（5）递推模型：如果容易推导该数列任意一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题.基础达标1.若a,b,c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.不能确定解析：a,b,c成等比数列，b2=ac,则b2-4ac=-3b20,即交点个数为0.2.随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔
3、 2年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8 100元的电脑6年后的价格可降为()A.2 400元B.2 700元C.3 000元D.3 600元解析：8 1001-133=2 400元.AA3.(教材改编题)一个凸多边形，它的各内角度数成等差数列，最小角为60，公差为20，则这个多边形的边数是()A.3 B.4 C.5或9 D.4或9解析：设边数为n,则60n+n(n-1)220=（n2)180，解得n=4或9.又an=60+(n-1)20180,n=4.B4.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 根据以上排列规律，数阵中第n(n3)
4、行的从左至右的第3个数是_.经典例题题型一 数列的实际应用【例1】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?（参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59）解（1）设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列，其中a1=2
5、50,d=50,则Sn=250n+50=25n2+225n,令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数，n10,到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-1.由题意可知an0.85bn,有250+(n-1)50400(1.08)n-10.85.当n=5时，a50.85b5,当n=6时，a60.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
6、.题型二 数列与函数的综合应用【例2】已知函数f(x)x2axb(a，bR)的图象经过坐 标 原 点，且 f(1)1，数 列 an的 前 n项 和 Snf(n)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足anlog3nlog3bn，求数列bn的前n项和(1)f(x)的图象过原点，b0.f(1)1，21a1，即a1，f(x)x2x，Snn2n，当n1时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n2，当n1时，a10满足上式，an2n2.(2)anlog3nlog3bn，3an，bnn32n2，设bn的前n项和为Tn，则Tn130232334n32n2，9Tn132234336n32
7、n.得：8Tn1323432n2n32nn32n，Tn.题型三 等差数列与等比数列的综合应用【例3】设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*),其中m为常数，m-3,且m0.(1)求证:an是等比数列；(2)若数列an的公比满足q=f(m)且b1=a1,bn=f(bn-1)(nN*,n2),求证:为等差数列，并求bn.证明（1）证明：由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得(3+m)an+1=2man(m-3),=,当n=1时，(3-m)a1+2ma1=m+3,得a1=10,又m是常数，且m-3,m0,故是不为0
8、的常数,an是等比数列.（2）由b1=a1=1,q=f(m)=,bn=f(bn-1)=,nN*且n2,得bnbn-1+3bn=3bn-1 -=.是1为首项，为公差的等差数列，=1+=,当n=1时也符合此式，故有bn=.变式3-1（2011深圳调研）设数列an的前n项和为Sn,其中an0,a1为常数，且-a1,Sn,an+1成等差数列.(1)求an的通项公式;（2）设bn=1-Sn，问是否存在a1,使数列bn为等比数列？若存在，则求出a1的值；若不存在，请说明理由.解析：(1)由题意可得2Sn=an+1-a1,当n2时，有2Sn=an+1-a1,2Sn-1=an-a1,两式相减,得an+1=3a
9、n(n2),又a2=2S1+a1=3a1,an0,an是首项为a1,公比为3的等比数列,an=a13n-1.(2)方法一：Sn=-a1+a13n,bn=1-Sn=1+a1-a13n.要使bn为等比数列，当且仅当1+a1=0,即a1=-2,此时bn=3n,bn是首项为3,公比为3的等比数列.bn能为等比数列，此时a1=-2.方法二：设数列bn能为等比数列，则b1,b2,b3成等比数列，=b1b3,Sn=a1+a2+an,an=a13n-1,bn=1-Sn,b2=1-4a1,b1=1-a1,b3=1-13a1，(1-4a1)2=(1-a1)(1-13a1)，又an0,得a1=-2,此时bn=1-S
10、n=3n,bn是首项为3,公比为3的等比数列，bn能为等比数列，此时a1=-2.方法三：设数列bn能为等比数列,即满足=bn-1bn+1(n2,nN*),又bn=1-Sn,bn-1=1-(Sn-an),bn+1=1-(Sn+an+1)，(1-Sn)2=(1-Sn+an)(1-Sn-an+1),(1-Sn)2=(1-Sn)2+(an-an+1)(1-Sn)-anan+1,即-2an1-=anan+1,将an=a13n-1代入得a1=-2,此时bn=1-Sn=3n.(2010安徽)设C1，C2，Cn，是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线yx相切，对每一个正整数n，圆Cn都
11、与圆Cn1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知rn为递增数列(1)证明：rn为等比数列；(2)设r11，求数列的前n项和知识准备：1.会求直线的倾斜角和斜率；2.知道两圆外切时圆心距与两圆半径的关系；3.会用错位相减法求等比数列的前n项和解(1)将直线yx的倾斜角记为，则有tan，sin，设Cn的圆心为(n,0)，则由题意得知，得n2rn；同理n12rn1，从而n1nrnrn12rn1，将n2rn代入，解得rn13rn，故rn为公比q3的等比数列(2)由于r11，q3，故rn3n1，从而n31n，记Sn，则有Sn1231332n31n，131232(n1)31nn3n.，得1313231nn3nn3n3n，Sn31n.
