1、第六节 指数与指数函数基础梳理1.根式(1)定义：如果xna，那么x叫做a的_，其中n1，nN*.当n是奇数时，正数的n次方根是一个_，负数的n次方根是一个_，记作_当n是偶数时，正数的n次方根有_，这两个数互为_，记作_，负数没有_方根，零的n次方根是零负数偶次n次方根正数两个相反数(2)两个重要公式(注意：a必须使有意义)-aa|a|aa2.有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：_ (a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：_.(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_(2)有理数指数幂的性质aras_(a0，r，sQ)；(ar)s_(a0，r，sQ)；
2、(ab)r_(a0，b0，rQ)没有意义0arbrar+sars3.指数函数的定义一般地，函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量4.指数函数的图象与性质y=axa10a0时，_；当x0时，_；当x10y10y1增函数减函数1.(教材改编题)化简(x0，y0)得()A.3x2y B.3xy C.9x2y D.-3x2y基础达标D 解析：2.若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，则有()A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a0且a1C 解析：由y=(a2-3a+3)ax为指数函数，可得即a=2.3.设指数函数f(x)=ax(a0且a1)，则下列等式不正确的是()
3、A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(xy)n)=fn(x)fn(y)C.f(x-y)=D.f(nx)=f n(x)B 解析：对于A，f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y)，所以A正确；对于B，f(xy)n)=a(xy)n(ax)n(ay)n=fn(x)fn(y)，所以B不正确；对于C，f(x-y)=ax-y=，所以C正确；对于D，f(nx)=anx=(ax)n=f(x)n=fn(x)，所以D正确4.已知集合M=-1,1，N=，则MN=_.-1 解析：2x+14 即为212x+122，因为y=2x在R上是增函数，所以1x+1b0，求的值经典例题题型一 指数运算性质的应用(3)已
4、知a，b是方程x26x40的两根，且ab0，求的值(2)由条件知a+b=6，ab=4，又ab0，所以(3)由条件知ab6，ab4，又ab0，所以=【例2】已知函数(1)作出函数的图象；(2)指出该函数的单调递增区间；(3)求函数的值域题型二 指数函数的图象的应用分析：本题要考虑去绝对值符号，把函数解析式写成分段函数的形式，再作出图象，然后根据图象寻求其单调递增区间和值域解：(1)由函数解析式可得其图象分成两部分：一部分是的图象，由下列变换可得到：另一部分y=2x+2(x0恒成立，所以定义域为R.又因为 ，而所以 ，解得0y1，所以值域为(0,1)解：(1)定义域为R.因为|x1|0，所以y 1
5、，所以值域为1，).(2)令-x2-3x+40，解得-4x1，所以函数的定义域为-4,1设 (-4x1)，易得u在时取最大值 在x=-4或1时取最小值0，即0u所以函数y=2u的值域为即函数的值域为下列函数中值域为正实数集的是()A.B.C.D.变式3-1A 解析：A中的值域为正实数集，而1-xR，的值域为正实数集；B中，当x=0时，2x-1=0；C中，y取不到1；D中，函数值域为0,1)【例4】已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，(1)求f(x)在1,1上的解析式；(2)求证：f(x)在(0,1)上是减函数题型四 指数函数性质的综合应用解（1）当x(-1,0)时
6、，-x(0,1)f(x)是奇函数，由f(0)=f(0)，且f(1)=f(2+1)=f(1)=f(1)，得f(0)=f(1)=f(1)=0.在区间-1,1上，有(2)证明：当x(0,1)时，f(x).设0 x1x21，则f(x1)f(x2).0 x1x20,2x1x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0,1)上是减函数易错警示【例】设a0且a1，如果函数f(x)=a2x+2ax1在1，1上的最大值为14，求a的值错解 当x=1时，f(x)有最大值，即a2+2a1=14，a2+2a15=0，a=3(a=5舍去)错解分析 错解中：(1)忽略了字母参数a1与0a1时，ax ，令t=ax，则y=(t+1)2-2，t ，易知y=(t+1)22在 上单调递增当t=a，即ax=a时，ymax=(a+1)22=14，a=3(a=5舍去)(2)当0a1时，ax；同(1)得当t，即ax时，ymax214，解得a.综上所述，a或a3.
