1、第十节函数与方程基础梳理1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(xD)，我们把使_叫做函数y=f(x)(xD)的零点，即：函数y=f(x)的零点就是_，亦即_2.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象_有交点函数y=f(x)_函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标f(x)=0成立的实数x方程f(x)=0的实数根有零点与x轴3.函数零点的判断一般地，如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个c也就是f(x)=0的根我们把这一结论称为零点存在性定理f(c)=0f(a)f(b)0)
2、的图象与零点的关系，a0D=0D0)的图象与x轴的交点零点个数(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点两个零点 一个零点无零点1.(教材改编题)函数f(x)=ln x零点所在区间大致是A.(1,2)B.(2,3)C.和(3,4)D.(e，+)基础达标B 解析：因为f(1)=20，f(2)=ln 210，所以f(x)在(1,2)内不一定有零点，A错误；又，所以f(2)f(3)0，所以f(x)在(2,3)内至少有一个零点2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是()A.a1 C.a1 D.a1B 解析：由方程x2+2x+a=0的判别式小于0可得a1.3.(教材改编题)若函
3、数yf(x)是偶函数，定义域为x|x0，且f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有(B)A.唯一一个B.两个C.至少两个D.无法判断4.若函数y=f(x)在区间0,4上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值()A.大于0 B.小于0C.等于0 D.无法判断D 解析：都有可能，所以无法判断，故选D.【例1】求函数(x0)的零点，并画出其大致图象经典例题题型一 确定函数的零点分析：令f(x)=0，得零点，然后结合零点及零点两侧函数值的符号画函数的大致图象解：令f(x)=0，得即x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2
4、，f(x)的零点是1,2.当x(0,1)时，f(x)0，x(2，+)时，f(x)0，当x(1,2)时，f(x)0，其大致图象如图所示函数y=9x63x7=0的零点是_变式1-1解析：(3x)2-63x-7=03x=7或3x=-1(舍去)，x=log37.x=log37变式12(2011北京海淀区期中考试)对任意xR，定义sgn(x)求方程x23x1sgn(x)的根解：(1)当x0时，sgn(x)1，解方程x23x11，得x0(舍)或x3；(2)当x0时，sgn(x)0,0不是方程x23x10的解；(3)当x0时，sgn(x)1，解方程x23x11，得x1(舍)或x2(舍)；综上所述，x3是方程
5、x23x1sgn(x)的根【例2】已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.若函数在区间-1,1上存在零点，求实数q的取值范围题型二 零点的分布问题分析：画出二次函数的图象，使图象满足在区间-1,1上有零点，然后根据图象从判别式、对称轴、区间端点函数值的符号三个方面找到需要满足的条件画图时注意图形本身隐含的条件，如此题中对称轴是确定的解：函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8，f(x)在区间-1,1上是减函数函数在区间-1,1上存在零点，则必有：即-20q12.(2010上海)若x0是方程lg x+x=2的解，则x0属于区间A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.7
6、5)D.(1.75,2)变式2-1D解析：构造函数f(x)=lg x+x-2，由，f(2)=lg 20，故x0属于区间(1.75,2)【例3】若函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_题型三 根据函数的零点(或方程的根)的存在情况，求参数分析：将函数f(x)的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，利用数形结合解决解：设函数y1=ax(a0且a1)和函数y2=x+a(a0且a1)，则函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个零点，就是函数y1=ax(a0且a1)与函数y2=x+a有两个交点由图象可知当0a1时两函数只有一个交点，不符合；当a1时，因为函数y=
7、ax(a1)的图象过点(0,1)，而直线y=x+a过点(0，a)，一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点所以实数a的取值范围是(1，+)已知f(x)=3ax-2a+1的定义域为-1,1，且存在x0使得f(x0)=0，求实数a的取值范围变式3-1解析：当a=0时，f(x)=1，无零点，所以a0.由一次函数的图象可知：f(-1)f(1)0，(-3a-2a+1)(3a-2a+1)0，(-5a+1)(a+1)0，a 或a-1.易错警示【例】判断方程4x29=0在区间1,1内是否有实数解错解 设f(x)=4x29，则f(1)=50，f(1)=50，因此函数f(x)在1,1之间无零点，所以方程4x2
8、9=0在1,1内无实数解设f(x)=4x2-9，由于x-1,1时，4x24，f(x)=4x2-9-5，故f(x)的图象在区间-1,1上与x轴无交点，因此函数f(x)在区间-1,1上无零点，即方程4x2-9=0在-1，1内无实数解解析：链接高考(2010浙江)已知x0是函数 的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，+)，则()A.f(x1)0，f(x2)0 B.f(x1)0，f(x2)0C.f(x1)0，f(x2)0 D.f(x1)0，f(x2)0 知识准备：1.函数 的零点问题转化为函数y=2x与函数 的图象交点问题；2.能画出函数y=2x与函数 的图象，并具有利用图象解决问题的能力在同一坐标系内画出函数y=2x与函数y=图象，由图象易知f(x1)0，f(x2)0，故选B.B 解析：
