1、第四十二讲抛物线回归课本1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.2.抛物线的标准方程和几何意义考点陪练1.(2010湖南)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析:由抛物线的方程得再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6,故选B.答案:B解析:如图,由直线的斜率为得AFH=60,FAH=30,PAF=60.又由抛物线的定义知|PA|=|PF|,PAF为等边三角形,由|HF|=4得|AF|=8,|PF|=8.答案:B3.(2010陕西)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-
2、3)2+y2=16相切,则p的值为()解析:由已知,可知抛物线的准线与圆(x-3)2+y2=16相切.圆心为(3,0),半径为4,圆心到准线的距离解得p=2.故选C.答案:C4.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y解析:由题意知,P到F(0,2)的距离比它到y+4=0的距离小2,因此P到F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P的轨迹方程为x2=8y.答案:C答案:A类型一抛物线的定义解题准备:利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线
3、的焦点和准线的距离相互转化.例如若点P0(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上的任一点,则该点到抛物线的焦点F的距离(焦半径公式),这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便.在求过焦点的一弦长时,经常将其转化为两端点到准线的距离之和,再用根与系数关系求解,有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解.【典例1】(1)在抛物线y2=4x上找一点M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M点的坐标及此时的最小值.(2)已知抛物线y2=2x和定点抛物线上有动点P,P到点A的距离为d1,P到抛物线准线的距离为d2,求d1+d2的最小值及此时P
4、点的坐标.解要求最小值问题,可考虑抛物线的定义,通过定义转化为“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”这一结论.(1)如图,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的定义可知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|为M到抛物线的准线的距离.过A作抛物线的准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则|MA|+|MF|=|MA|+|MH|AB|=4(当且仅当点M在M1的位置时),此时M点的坐标为(1,2).(2)如图,点在抛物线y2=2x的外部,由抛物线的定义可知,(其中F为抛物线的焦点).此时P点的坐标为(2,2).反思感悟熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键.利用抛物线定义可将抛
5、物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转化.例如若点P0(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上的任一点,则该点到抛物线的焦点F的距离(焦半径公式),这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便.在求过焦点的一弦长时,经常将其转化为两端点到准线的距离之和,再用韦达定理求解,有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解.类型二求抛物线的方程解题准备:求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法.为避免开口方向不确定而设成多种形式的麻烦,可以将焦点在x轴上的抛物线的标准方程统一设为y2=ax(a0);焦点在y轴上的抛物线的标准方程统一设为x2=ay(a0).【典例2】
6、求下列各抛物线的方程:(1)顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,且经过点M(-2,-4);(2)顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上一点Q(m,-3)到焦点的距离等于5.解(1)设抛物线为y2=mx或x2=ny,则(-4)2=m(-2)m=-8或(-2)2=n(-4)n=-1.所求的抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.(2)依题意,抛物线开口向下,故设其方程为x2=-2py.则准线方程为又设焦点为F,则故抛物线方程为x2=-8y.反思感悟这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去另一解.类型三抛物线的几何性质解题准备:1.以抛物线的标准方程y2=2
7、px(p0)为例,有如下几何性质:范围:抛物线y2=2px(p0)开口向右,且向右上方和右下方无限延伸;抛物线只有一条对称轴x轴,没有对称中心;顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,即坐标原点.顶点是焦点向准线所作垂线段的中点;离心率:抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,e=1.2.抛物线的每一条过焦点的弦被焦点分成两段焦半径,由焦半径公式可推出抛物线的焦点弦长公式:设过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦为AB,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF1|+|BF1|=x1+x2+p.特别地,当弦AB与抛物线的对称轴垂直时,这条弦称为
8、通径,其长度为2p.分析考查抛物线的过焦点的弦的性质.将抛物线的焦点弦的方程设出,代入抛物线方程,利用韦达定理等解决问题.类型四直线与抛物线的位置关系解题准备:直线和抛物线的位置关系,可通过直线方程与抛物线方程组成的方程组实数解的个数来确定,同时注意过焦点的弦的一些性质,如:弦长l=x1+x2+p.(2)当直线l的斜率不存在时,x=8与抛物线没有交点,不合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则l:y=k(x-8).设M(x1,y1),N(x2,y2),即x1x2+x1+x2+1+k2(x1-8)(x2-8)=97,(1+k2)x1x2+(1-8k2)(x1+x2)+1+64k2=9
9、7,将y=k(x-8)代入y2=-4x得k2x2+(4-16k2)x+64k2=0,代入式得:64(1+k2)+(1-8k2)整理得l的方程为:即x-2y-8=0或x+2y-8=0.错源一对抛物线的定义理解不透而致错【典例1】若动点M到定点F(1,0)的距离等于它到定直线l:x-1=0距离,则动点M的轨迹是()A.抛物线B.直线C.圆D.椭圆错解由抛物线的定义知动点M的轨迹是抛物线,故选A.剖析抛物线的定义中隐含一个条件“定点F不在定直线l上”.若“定点F在定直线l上”,那么动点的轨迹就不再是抛物线,而是过定点F且与定直线l垂直的直线.正解因定点F(1,0)在定直线l:x-1=0上,故动点M的
10、轨迹是直线,应选B.答案B错源二对抛物线的标准方程认识不清而致误答案C错源三对问题考虑不全面而致错【典例3】过点M(1,-2)的抛物线的标准方程为_.错解设抛物线方程为y2=2px,把点M(1,-2)的坐标代入得2p=4,故抛物线的标准方程为y2=4x.剖析上面的解法漏掉了抛物线的焦点还可以在y轴的负半轴上的情形.正解当抛物线的焦点在x轴上时,设方程为y2=mx(m0),把点M(1,-2)的坐标代入得m=4,故抛物线的标准方程为y2=4x;当抛物线的焦点在y轴上时,设方程为x2=ny(n0),把点M(1,-2)的坐标代入得故抛物线的标准方程为故应填y2=4x和答案错源四对直线与抛物线只有一个公
11、共点认识不清【典例4】求过点(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线l的方程.剖析事实上,上述解法只考虑了直线l的斜率存在且不为0时解的情形,而忽视了k不存在以及直线l平行于抛物线对称轴这两种情形.正解(1)当直线l的斜率为0时,则l:y=1,此时l平行于抛物线的对称轴,且于抛物线只有一个公共点(2)当直线l的斜率k0时,同错解.(3)当k不存在时,则l:x=0与抛物线y2=2x相切于点(0,0).综上可知,所求直线l的方程为:技法一 抛物线中过定点直线的性质【典例1】已知抛物线y2=2px(p0),过(2p,0)作直线交抛物线于两点,请写出你所能得出的不同结论.分析设直线与抛物线交
12、于AB两点,有以下结论:结论1:OAOB.证明设P(2p,0),当AB不垂直于x轴时,OPM为直角三角形,M在以OP为直径的圆周上,方程为(x-p)2+y2=p2.当ABx轴时,M点与P点重合,满足上述方程.所以,M点轨迹方程为(x-p)2+y2=p2(除(0,0)点外).结论1和结论3所对应命题的逆命题也成立,不妨证明之.思考若将定点(2p,0)改为(p,0)或(3p,0)等等,则又会有一些什么样的结论呢?技法二焦点弦问题和焦半径【典例2】过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若A,B在抛物线的准线上的射影是A1,B1,求A1FB1的值.解题切入点由题意先准确画出图形,利用抛物线定义可推出AA1F与BB1F都是等腰三角形,再利用平面几何知识即可得出A1FB1的值.解设抛物线方程为y2=2px(p0).如图,由抛物线定义知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,所以AA1F=AFA1,BB1F=BFB1,又AA1x轴BB1,AA1F=A1FF1,BB1F=B1FF1,所以AFA1+A1FF1+F1FB1+B1FB=2(A1FF1+F1FB1)=2A1FB1=180.即A1FB1=90.
