1、第三十二讲一元二次不等式及其解法名师指导练基础回归课本1.一元二次不等式的定义只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集如下表分式不等式解法的实质是转化,把分式不等式转化为整式不等式来求解,需要注意分式有意义即分母不为零,也可将分式不等式转化为两个不等式的交集,继而求出其解集.4.用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解的算法过程考点陪练1.(2010大连模拟题)不等式x(1-x)0的解集为()A.x|x0B.x|-1x0C.x|0 x1D.x|x1解析:利用数轴标根法可得0 x1.所以选C.答案:C2.(2010南
2、昌调研题)若不等式x2+ax+40对一切x(0,1恒成立,则a的取值范围为()A.0,+)B.-4,+)C.-5,+)D.-4,4答案:C3.(2010海口调研题)若a0,则下列结论一定成立的是()A.b24acC.b24ac D.不能确定解析:构造二次函数f(x)=ax2+bx+c,a0,抛物线与x轴一定有两个交点,则=b2-4ac0,故选B.答案:B答案:A5.若关于x的不等式x2-ax-a0的解集为(-,+),则实数a的取值范围是_;若关于x的不等式x2-ax-a-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是_.解析:由10即a2-4(-a)0得-4a0(a0),ax2+bx+c0).(2)计
3、算相应的判别式.(3)当0时,求出相应的一元二次方程的根.(4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.【典例1】解下列不等式:(1)2x2+4x+30;(2)-3x2-2x+80;(3)8x-116x2.分析 首先将二次项系数转化为正数,再看二次三项式能否因式分解,若能,则可得方程的两根,大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“”,利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.类型二含有参数的一元二次不等式的解法解题准备:1.含参数的一元二次不等式中关于字母参数的取值范围问题,主要考查一元二次不等式的解与系数的关系以及分类讨论的数学思想.2.含有参数的不等式的求解,往往需要比较相应方程的根的
4、大小,对参数进行讨论.3.含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论.若不易因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式.然后对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.【典例2】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c0;当a0时,2.不等式ax2+bx+c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c0的不等式恒成立问题,必须对a=0或a0分类讨论,避免产生漏解.【典例3】已
5、知不等式mx2-2x+m-20.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围;(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立,求x的取值范围.分析 (1)讨论m是否为零,可结合二次函数的图象求解;(2)看作关于m的一次函数,利用其单调性求解.解 (1)对所有实数x,都有不等式mx2-2x+m-20恒成立,即函数f(x)=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方.当m=0时,-2x-20知g(m)在-2,2上为增函数,则由题意只需g(2)0即可,即2x2+2-2x-20,解得0 x1.即x的取值范围是(0,1).反思感悟 对于含参数的不等式恒成立问题,若参数的次数是一次且易于分离时,可
6、以变换主元,借助于一次函数的单调性求解.类型四 一元二次不等式的实际应用解题准备:不等式解法的应用主要体现在两个方面:一是不等式作为一种重要的数学工具在函数和方程中的应用;二是通过建立不等式模型,解决生活中的实际问题.本类问题解决时,注意等价转化和函数方程思想的应用.【典例4】某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)设y=kx(0k0(aR).剖析 本题忽略对判别式的讨论是导致错误的主因.正解 因为=a2-16,(1)当0,即-4a4时,解集为R;(2)=0,即a=4.a=4时,解集为x|x-2,a=
7、-4时,解集为x|x2.错源二思维滞于表面现象,忽视分类讨论【典例2】解关于x的不等式(aR).错解 原不等式即为(x-a)(x-a2)0.aa2.不等式的解集为x|axa而不分类,也易在分类时漏掉a=a2的情况;或在讨论a=a2时,误将不等式解集写成x|xR且x0.正解 原不等式即为(x-a)(x-a2)0,a-a2=a(1-a),则当a1时,aa2,此时不等式的解为axa2;当0aa2,此时不等式的解为a2xa;当a=0或a=1时,a=a2,原不等式变形为(x-a)20不成立.综上,当a1时,原不等式的解集为x|axa2;当0a1时,原不等式的解集为x|a2x4x+p-3恒成立,求x的取值
8、范围.解题切入点 这是一个有关x的二次不等式恒成立问题,但若以x为主元考虑解题将非常复杂,而变换视角,令p为主元便可构建关于p的一次函数,使问题很容易得解.技法二数轴标根法【典例2】不等式的解集是()A.(-,-1)(1,2)(3,+)B.(-1,1)(2,3)C.(-1,1)(1,2)D.(1,2)(2,3)解析原不等式为等价于:(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0(0)的值的符号变化,写出不等式的解集.注意:当因式中出现“正项”时用“舍项法”;当因式中出现“偶次方项(x+a)2m”时利用“挖点法(去掉点x=-a)”;当因式中出现“奇次方项(x+b)2m+1”时利用“视一法(看成一次式x+b).”技法三转化与化归思想【典例3】若关于x的不等式的解集为x|4xm,求实数a、m的值.解题切入点根据式子的特征,可令将不等式转化成关于t的一元二次不等式.结合一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系,可求得a、m.
