1、第三章三角函数、解三角形第六节 正弦定理和余弦定理课时作业02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养第2课时 正弦定理和余弦定理的应用02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 正、余弦定理的实际应用【例 1】(1)如图，某游轮在 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏东 75方向上，距离为 12 6海里，灯塔 C 在 A 的北偏西 30方向上，距离为 8 3海里，游轮由 A 处向正北方向航行到 D 处时，再看灯塔 B，B 在南偏东60方向上，则 C 与 D 的距离为()A20 海里B8 3海里C23 2海里D24 海里B(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公
2、路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.100 6【解析】(1)在ABD 中，因为灯塔 B 在 A 的北偏东 75方向上，距离为 12 6海里，游轮由 A 处向正北方向航行到 D 处时，再看灯塔 B，B 在南偏东 60方向上，所以 B180756045，由正弦定理 ADsinBABsinADB，可得 AD ABsinBsinADB12 6 223224(海里)在ACD 中，AD24(海里)，AC8 3(海里)，CAD30，由余弦定理得 CD2AD2AC22ADACcos30242(8 3
3、)22248 3 32 192.所以 CD8 3(海里)(2)由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得 600sin45 BCsin30，解得 BC300 2(m)在 RtBCD 中，CDBCtan30300 2 33 100 6(m)方法技巧求距离、高度问题应注意的问题1理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念；2选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.3确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理
4、.1如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法是先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离即 AB a2b22abcos.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，则 A，B 两点的距离为m.200 7解析：在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos60280 000.AB200 7(m)即 A，B 两点间的距离为 200 7 m.2为了测量某新建的信号发射塔 AB 的高度，先取与发射塔底部 B在同一水平面内的两个观测点 C，D，测得BDC6
5、0，BCD75，CD40 m，并在点 C 的正上方 E 处观测发射塔顶部 A 的仰角为30，且 CE1 m，则发射塔高 ABm.20 21解析：如图，过点 E 作 EFAB，垂足为 F，则 EFBC，BFCE1，AEF30，CBD45.在BCD 中，由正弦定理得，BCCDsinBDCsinCBD40sin60sin45 20 6.所以 EF20 6，在 RtAFE 中，AFEFtanAEF20 6 33 20 2，所以 ABAFBF20 21(m)考点二 平面图形中的计算问题【例 2】如图所示，在平面四边形 ABCD 中，ABC34，ABAD，AB1.(1)若 AC 5，求ABC 的面积；(2
6、)若ADC6，CD4，求 sinCAD.【解】(1)在ABC 中，由余弦定理得：AC2AB2BC22ABBCcosABC，即 51BC2 2BC，解得 BC 2(负值舍去)，所以ABC 的面积SABC12ABBCsinABC121 2 22 12.(2)设CAD，在ACD 中，由正弦定理得，ACsinADCCDsinCAD，即 ACsin6 4sin，在ABC 中，BAC2，BCA34 2 4，由正弦定理得ACsinABCABsinBCA，即 ACsin341sin4，两式相除，得sin34sin64sin4sin，即 422 sin 22 cos 2sin，整理得 sin2cos.又 sin
7、2cos21，故 sin2 55，即 sinCAD2 55.方法技巧平面图形中计算问题的解题关键及思路,求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.,具体解题思路如下：,1把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.如图，四边形 ABCD 中，AC 3BC，AB4，ABC3.(1)求ACB；(2)若ADC23，四边形 ABCD 的周长为 10，求四边形 ABCD 的面积解：(1)设 BCa，则 AC 3a，由余弦定理 A
8、C2AB2BC22ABBCcosABC，得 3a242a224a12，a22a80，a2 或 a4(舍去)，AB2AC2BC2，ACB2.(2)四边形 ABCD 的周长为 10，AB4，BC2，ADCD4.又 AC2AD2DC22ADDCcosADC，即 12AD2DC2ADDC(ADDC)2ADDC，ADDC4.SADC12ADDCsin23 3.S 四边形 ABCDSABCSADC2 3 33 3.考点三 正、余弦定理与平面向量的结合【例 3】(2020济南模拟)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bsinCacosCccosA，B23，c 3.(1)求角 C；(
9、2)若点 E 满足AE2EC，求 BE 的长【解】(1)解法 1：由题设及正弦定理得 2sinBsinCsinAcosCsinCcosA，又 sinAcosCsinCcosAsin(AC)sin(B)sinB，所以 2sinBsinCsinB.由于 sinB 32 0，所以 sinC12.又 0C0，所以 sinC12.又 0C 32，得 90120，当 C90时，显然成立，因此 32 sinC1，即 sinC 的取值范围是32，1.【素养解读】破解此类题的关键点(1)定基本量，根据题意或几何图形得出三角形中的边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本
10、变量，确定基本变量的变化范围(2)构建关系，将待求范围的变量，根据正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数关系式(3)求最值，利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求最值或范围1已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos2Acos2B2cos2C，则 cosC 的最小值为()A.32B.22C.12D12C解析：因为 cos2Acos2B2cos2C，所以 12sin2A12sin2B24sin2C，得 a2b22c2，cosCa2b2c22aba2b24ab 2ab4ab12，当且仅当 ab 时等号成立，故选 C.2(2020贵阳监测)已知锐角ABC 的内角
11、A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 a1,2acosCc2b，则角 A3，ABC 的周长的取值范围是(31,3解析：由题意，2acosCc2b，利用正弦定理，得 2sinAcosCsinC2sinB，(1)，将 sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC 代入(1)式得 sinC2cosAsinC，又 sinC0，故 cosA12，所以 A3.由正弦定理可得，ABC 的周长 lABC 23(sinBsinC)1，将 C23 B 代入化简得 lABC 23sinBsin23 B 12sinB61，由 023 B2及 0B2，可得6B2，所以3B623，所以 32 sinB6 1，所以ABC 周长的取值范围是(31,3温示提馨请 做：课时作业 27PPT文稿（点击进入）
