1、第 1 页，共 4 页 2020-2021 学年下学期 4 月月考 高一年级数学学科 试卷 （全卷 6 个大题，共 16 个小题，共 2 页；考试时间：120 分钟，满分：150 分）一、单选题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60.0 分）1.已知，均为单位向量，若|2|=3，则向量 与 的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56 2.若1、2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.1 2，2 1 B.2 1 2，1 12 2 C.2 2 3 1，6 1 4 2 D.1+2，1 2 3.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足，则下列说法正确的是()A.复
2、数 z 的模为15 B.复数 z 的共轭复数为 C.复数 z 的虚部为15 D.复数 z 在复平面内对应的点在第一象限 4.已知平面向量，的夹角为120，=(3,1)，则向量 在向量 方向上的投影向量的模为()A.3 B.1 C.1 D.3 5.如右图，在 中，点 D 在线段 BC 上，且=3，若=+，则=()A.12 B.13 C.2 D.23 6.已知任意两个向量，则 ()A.|+|=|+|B.|=|C.|D.|+|7.在 中，向量 与 满足(|+|)=0，且|=22，则 为()A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 8.已知 的三个内角 A，B，C 所对
3、的边分别为 a，b，c，若=1，+=3，且sincos+sincos=32，则 的面积为()A.34 或334 B.334 C.233 D.34 第 2 页，共 4 页 9.若 O 为 所在平面内一点，且满足()(+2 )=0，则 的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 10.给定两个长度为 1 的平面向量 和，它们的夹角为23，如图所示点 C 在以O 为圆心的圆弧 上运动，若=+，其中 x，则+的取值范围为()A.(1,2 B.1,2 C.1,2)D.2,2 11.如图，已知圆 O 的半径为 2，AB 是圆 O 的一条直径，EF 是圆 O 的一条弦，且=
4、2，点 P在线段 EF 上，则 的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.1 12.在 中，5=4=3，则 sinA：sinB：=()A.9：7：8 B.9：7：8 C.6：8：7 D.6：8：7 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20.0 分）13.已知|1|=1，|2|=3，|1 2|=2，则|1+2|=_ 14.向量=(2,)，=(1,3)，若，的夹角为钝角，则 t 的范围是_.15.给出下列结论：若 0，=0，则=0;若 =，则=;若 =0()，则=0或=0;若 2=2，则=或=;()=();()()=0.其中正确的结论是 .(写出所有正确结论的序号)16.我国著名的数
5、学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4 除，所得的数作为“实”，1 作为“隅”，开平方后即得面积所谓“实”、“隅”指的是在方程2=中，p 为“隅”，q 为“实”.即若 的大斜、中斜、小斜分别为 a，b，c，则2=14 22 (2+222)2.已知点 D 是 边 AB 上一点，=3，=2，=45，tan=8+157，则 的面积为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.（10 分）已知 O
6、 为直线 AB 外一点，(1)若=34 +14 ，求证：A、B、C 三点共线；(2)若 O 为坐标原点，(2,3)，(8,1)，判断 的形状，并给予证明 第 3 页，共 4 页 18.（12 分）已知 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设=(,1)，=(2,0)(1)若=23，求 与 的夹角；(2)若|=1,=3，求 周长的最大值 19.（12 分）如图，某公园有三条观光大道 AB，BC，AC 围成直角三角形，其中直角边=200，斜边=400，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点 D，E，F(1)若甲、乙都以每分钟 100m 的速度从
7、点 B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟 2 分钟出发，当乙出发 1 分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 2 倍，且=3，请将甲乙之间的距离y 表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离 20.（12 分）在 中，角 A，B，C 所对的边分比为 a，b，c，满足+2=2(1)求角 C 的大小；(2)若=3，求2+的最大值 第 4 页，共 4 页 21.（12 分）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说 除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将白己的精神生活寄托于那广阔无垠的
8、麦田假设霍尔顿在一块平面四边形 ABCD 的麦田里成为守望者。如图所示，为了分割麦田，他将 BD 连接，设中边 BD 所对的角为 A，中边BD 所对的角为 C，经测量己知=2,=23(1)霍尔顿发现无论 BD 多长，3cos cos为定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；(2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为1和2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出12+22的最大值 22.（12 分）在平面直角坐标系中，点(,0)点(0,)(其中为常数，且 0)，点 O 为坐标原点(1)设点 P 为线段 AB 靠近点 A 的三等分点，OP=OA+(1 )OB()，求的
9、值；(2)如图，设点1,2,1是线段 AB 的 n 等分点，=+(1 )，其中1 1，n，2，求当=2020时，|+1+2+1+|的值(用含、的式子表示)；第 1 页，共 3 页 【答案】1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.D 7.D 8.D 9.A 10.B 11.D 12.B 13.2 14.23且 6 15.16.3154 17.(1)证明：=34 +14 ，34 34 +14 14 =0，34 +14 =0 得：=3 又 与 有公共点 C，所以 A、B、C 三点共线(2)解：为直角三角形 证明：=(2,3)，=(8,1)，=(8,1)(2,3)=(6,4)=2 6 3 4=0，
10、则 ，即 为直角三角形 18.解：(1)=23 时，=(32,32)，且=(2,0)，=|=323=12，又0 ，=3；(2)|=1，2=sin2+(1 )2=2 2=1，=12，且0 ，=3，且=3，根据正弦定理，=332=2，=2，=2，且+=23，=23 ，第 2 页，共 3 页 的周长为2sin(23 )+3=2(32 +32)+3=23sin(+6)+3，0 23，6 +6 56，sin(+6)的最大值为 1，周长的最大值为33 19.解：(1)由题意，=300，=100，中，=12，=3，中，由余弦定理可得=3002+1002 2 300 100 12=1007；(2)由题意，=2
11、=2，=中，=2 中，由正弦定理可得2002sin=60，=1003+3=503sin(+3)，0 2，=6，=503.20.解：(1)由余弦定理知，=2+222，+2 2+222=2，化简得2+2 2=，由余弦定理知，=2+222=2=12，(0,)，=3(2)由正弦定理知，=3sin3=2，=2，=2，=3，+=23，(0,23)，2+=4+2=4+2(23 )=4+2(32 +12)=5+3=27sin(+)，其中=35，=35 (0,33)，(0,6)，+(0,56)，当+=2时，2+取得最大值，为27 第 3 页，共 3 页 21.解：(1)在 中，2=2+2 2 =16 83，在
12、中，2=2+2 2 =8 8，3 1=，则3 =1，为定值；(2)12+22=14 2 2 sin2+14 2 2 sin2=122+42=122+4 42 =122+4 4(3 1)2 =242+83+12 令，=242+83+12=24(36)2+14 所以=36 ,即=36 时，12+22有最大值为 14 22.解：(1)因为=(1)+(1 )=(1)()=(1)，点 P 为线段 AB 上靠近 A 点的三等分点，所以=13 ，所以 1=13，即=23；(2)由题意得1=20192020 +12020 ，2019=12020 +20192020 ，1+2019=+，事实上，对任意的正整数 m，n，且+=2020，有=20202020 +2020 ，=20202020 +2020 ，+=+，所以|+1+2+1+|=1011|+|=10112+2；
