1、高三理科数学参考答案第1页 共 10 页 南昌十中 20192020 学年第一学期期末考试 高三理科数学试题（参考答案）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集 1,0,1,2,3,4U=，集合=|4AxN x，=|12BxZx，则()UC AB=()A.1,0,1,4 B.-1,0 C.1 D.0,1 1.C【解析】依题意可知=0,1,2,3A，1,0,1,2,3,4U=，所以 1,4UC A=，=1,0,1B，所以()-1UC AB=。故选 C。2.已知 i 为虚数单位，211zii=，则关于复数 z 的
2、说法正确的是()A.|1z=B.z 对应复平面内的点在第三象限 C.z 的虚部为 i D.2zz+=2.A【解析】已知211zii=，所以2(1 i)2zi=，所以|1z=。故选 A。3.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对应数据根据下表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为=0.7x+0.35,那么表中 t 的值为（）x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A3 B3.15 C3.5 D4.5 3.【答案】A【解析】aybx=,由回归方程知 2.544.534560.350.70.744tyx+=,
3、解得3t=,故选 A 4.已知23(log 2)a=，212(log 3)b=，221log()3c=，则,a b c 的大小关系是()A.cab B.abc C.acb D.bca 4.A【解 析】因 为30log 21，所 以 01a，212log03c=，所以cab0；命题 q：01xaxa，且 q 的一个必要不充分条件是 p，则 a 的取值范围是()A 3 0，B(,30+，)C(3 0)，D(,3)(0+，)5答案 A 解析 解 x22x30，得 x1，故 p：3x1；命题 q：1,xaxa+或，故 q：1axa+。由 q 的一个必要不充分条件是 p，可知 q是 p 的充分不必要条件
4、，故3;1 1aa +得 30a。6.正项等比数列na中，34,a a 的等比中项为11eedxx，令123nnTa aaa=，则6T=（）A.6 B.16 C.32 D.64【答案】D【解析】因为1111ln|lnln2eeeedxxexe=，即344a a=，又1625344a aa aa a=，所以33612634()464Ta aaa a=.故选 D.7.已知满足对任意成立，那么的取值范围是（）A B C（1，2）D 答案：A 8.已知3tan()65+=，则sin(2)6=（）A.817 B.817 C.725 D.725 8.B【解析】：设6+=，则2262=，3tan()tan6
5、5+=，22sin(2)sin(2)cos2sincos62=222222sincostan18sincostan117=+9.榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连(2)1(1)()(1)xa xxf xax+都有a3,2)23(1,2(1,)+高三理科数学参考答案第3页 共 10 页 接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构。榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（）A.36 B.45 C.54 D.63 9.C【解析】作出该几何体的直
6、观如图，两个直四棱柱的组合体 ()()363363315422V+=+=。10.已知三棱锥 ABCD的顶点均在球 O 的球面上，且3,2ABACADBCD=，若 H 是点 A 在平面 BCD 内的正投影，且2CH=，则球 O 的体积是（）A.4 3 B.92 C.8 23 D.43来源:学科网 ZXXK 10.B【解析】因为3ABACAD=，所以由三角形全等可得 HBHCHD=，即 H 是 BCD的外心，即 H 是斜边 BD 的中点，则球心 O 在 AH 上，由勾股定理可得222ABBHAH=，得1AH=，设球 O 的半径为 R，则()2212RR=+，所以32R=。所以球 O 的体积为349
7、32R=，故选 B。11若双曲线 y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线 yx21 相切，且被圆 x 2+（ya）2=1截得的弦长为则 a=()高三理科数学参考答案第4页 共 10 页 A.52 B.102 C.5 D.10 11答案 B.解析 可以设切点为(x0，x201)，由 y2x，切线方程为 y(x201)2x0(xx0)，即 y2x0 xx201，已知双曲线的渐近线为 yabx，1x200，ab2x0，x01，ab2，一条渐近线方程为 y2x，圆心（(0,)a）到直线2yx=的距离是210225aa=.12.函数()|cos|(0)f xxx=的图象与过原点的直线恰有四个交
8、点，设四个交点中横坐标最大值为，则2(1)sin 2+=()A.2 B.2 C.12 D.12 12.A【解答】函数 f（x）=|cosx|（x0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数 y=|cosx|（x0）在区间（，2）内的图象相切，在区间（，2）上，y 的解析式为 y=cosx，故由题意切点坐标为（，cos），切线斜率 k=y=sinx|x=sin，由点斜式得切线方程为：ycos=sin（x），y=sinx+sin+cos，直线过原点，sin+cos=0，得=，=（tan+）sin2=（+）2sincos=2（sin2+cos2）=2故答案为 A 第卷（非选择题，共 90 分）二
9、、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.在6212xx+的展开式中3x 的系数为 13.160 14设,x yR，向量()()(),1,2,2,2axbyc=，且,/ac bc，则 ab+=_ 14.答案 10。解析 高三理科数学参考答案第5页 共 10 页 2201(1,1),/4202(2,2)acxxabcyyb+=+=22(3,1)3110abab+=+=+=.15.由不等式组x0，y0，yx20确定的平面区域记为 1，不等式组xy1，xy2确定的平面区域为2，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为 1578如图，平面区域 1 就是三角形区域 OAB
10、，平面区域 2 与平面区域 1 的重叠部分就是区域 OACD，易知 C12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率 PS四边形OACDSOAB2142 78.16.已知圆22:(2)2C xy+=，直线:20l kxy=与 y 轴交于点 A，过l 上一点 P 作圆C的切线，切点为T，若|2|PTPA=，则实数 k 的取值范围是 。16.73k 或73k【解析】圆22:(2)2C xy+=，直线:20l kxy=与 y 轴交于点(0,2)，设(,)P x y，由|2|PTPA=，可得2222222(2xyxy+=+），即2266(3xy+=），所以满足2PAPT=的点 P 的轨迹是一个圆223
11、(66(0)xyx+=），从而问题可转化为直线l与圆2266(3xy+=）有公共点，所以dr，即61|260|2+k，解得73k 或73k。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。17.（本小题满分 12 分）已知na是递增的等比数列，若3520aa+=，且1235,4aa a 成等差数列。（）求na的前n 项和nS；（）设12nnbS=+，且数列 nb的前n 项和为nT，求证：113nT，由1235,4aa a 成等差数列，可得2135=+2 aaa，即21115=2+2
12、a qaa q，则22-5+2=0qq，所以12q=或2q=，因为na是递增的等比数列，所 以2q=，又 因 为3520aa+=，可 得3520a=，即34a=，所 以11a=，所 以()121212 1nnnS=；.6 分（）由（1）可得1021nnb=+，所以数列 nT是递增数列，所以113nTT=。又因为11212nnnb=+，2111221111111222212nnnnT+=。综上所述：113nT。12 分 理 18.（本小题满分 12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，6,2 3ADAB=，DFAC，E 为垂足，F 在 AB 上，将 ACD延 AC 折起，使点 D 到点 P 的位
13、置，连,PF PB，且5PF=，如图 2。（）求证：PE 平面 ABC；（）求钝二面角 APBC的余弦值；18.（）证明：由图 1 知，3 2AC=，所以62 323 2AD CDDEAC=，即2PE=，所以22642AEADDE=，则2 2CE=，因为 AEEFECDE=，所以1EF=，又因为5PF=，所以222PEEFPF+=，即 PEEF，高三理科数学参考答案第7页 共 10 页 又因为 PEAC，且 EFACE=，,EF AC 平面 ABC，所以 PE 平面 ABC.6 分（）以 E 为原点，,EF EC EP 分别为,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，由题意可得()0,2,0A
14、，()0,0,2P，()0,2 2,0C，()2,2,0B，所 以(0,2,2)AP=，(2,2 2,0)AB=。设平面 APB 的一个法向量为1(,)nx y z=，则 1100nAPnAB=，即22022 20yzxy+=+=。令2y=，解得21xz=，所以1(2,2,1)n=，同理可求得平面 PBC 的一个法向量为2(1,2,2)n=。所以12121222cos,7|77n nn nnn=。由题意可知，二面角 APBC为钝角，所以二面角 APBC的余弦值为27。来源:学#科#网 12 分 19.（本小题满分 12 分）某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，两队各有六名选手参赛，将他们首轮的
15、比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家队的平均分比队的平均分多 4 分，同时规定如果某位选手的成绩不少于 21 分，则获得“晋级”（1）主持人从队所有选手成绩中随机抽取 2 个，求至少有一个为“晋级”的概率；（2）主持人从两队所有选手成绩中分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望 AB、ABAAAB、高三理科数学参考答案第8页 共 10 页 10 分 的分布列为 0 1 2 3 4 12 分 20.（本小题满分 12 分）已知顶点为原点的抛物线 C 的焦点与椭圆2221yxa+=的
16、上焦点重合，且过点(2 2,1)。（）求椭圆的标准方程；（）若过抛物线上不同两点,A B 作抛物线的切线，两切线的斜率为12kk，121kk=且，记 AB 中点的横坐标为m，AB 的弦长为()g m，求()g m 的取值范围。20.解：（）由题意可知，点(2 2,1)在抛物线 C 上，所以抛物线 C 的方程为28xy=，P622556225101225562256225()656101566012342225225225225225E =+=高三理科数学参考答案第9页 共 10 页 所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215yx+=.5 分（）设221212(,),(,)88x
17、xA xB x，在 A 点处切线的斜率114xk=，在 B 点处切线的斜率224xk=，又1212116x xkk=，所以222121218884ABxxxxmkxx+=，212xxm+=，8 分 而222121212|1|1()4ABABABkxxkxxx x=+=+22146416mm=+42246444mmm=+，所以42()8644mf mm=+，又20m，所以|8AB。12 分 21.（本小题满分 12 分）已知函数()(0)f xaxa a=，()()0 xe g xf x=。（）当1a=时，求函数()g x 在点(0,(0)g处的切线方程；（）关于 x 的不等式()10g x+在
18、 1,)x +上恒成立，求实数 a 的取值范围。来源:学科网 ZXXK21.解：（）依题意，()()0 xe g xf x=，又1a=，所以1()xxaxaxg xee=，所 以(0)1g=，2()xxg xe=，所 以(0)2g=，所 以 切 线 方 程 为21yx=+，即210 xy+=。5 分（）依题意，()10g x+，即1xaxae ，所以(1)xxae，当1x=时，显然成立；当1x 时，(1)xxae 即(1)xeax，令()(1)xeh xx=，2(2)()(1)xx eh xx=，且()0h x=时，解得2x=，所以()(1)xeh xx=在(1,2)x单调递增，在(2,)x+
19、上单调递减，所以2max()(2)h xhe=，所以2ae；9 分 当 11x 即(1)xeax，所以()(1)xeh xx=在 1,1)x 单调递增，所以min1()(1)2ah xhe时，求实数 x 的取值范围；（2）当()yg x=与()yf x=的图象有公共点，求实数 m 的取值范围。23.解：（1）当()0f x 时，即|2|1xx+。即有+1202xxx或+1202xxx，即 x或 x21，故不等式的解集为（，21）.5 分（2）因为函数()|3|1g xxxm=+与函数()yf x=的图象有公共点，则|3|1xxm+|2|1xx=有解。即|2|3|mxx=+有解,|2|3|1xx+，所以1m 。所以当()yg x=与()yf x=的图象有公共点时，m 的范围为1,)+。10 分
