1、本作品版权由孙小明老师所有,授权予北京校园之星科技有限公司，任何机构或个人均不得擅自复制、传播。本公司热忱欢迎广大一线教师加入我们的作者队伍。有意者请登录高考资源网()版权所有，盗用必究！8.3 双曲线及其标准方程(2)一、教学目标知识目标：1.使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 能力目标：掌握待定系数法这一重要的数学方法，培养学生的发散思维的能力德育目标：通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣二、教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，
2、学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握 本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学
3、习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题 1重点：标准方程及其简单应用2难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结四、教学过程(一)创设情境名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨
4、迹叫椭圆。即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关 系 （符合勾股定理的结构）， 最大，（符合勾股定理的结构）最大，可以(二)新知探索双曲线标准方程的求法：由双曲线的定义和标准方程可知，确定双曲线的标准方程需要三个条件，除需指明焦点位置外，还要确定 、 的值（三
5、）例题与变式例1 已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组 解：因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为 （）则有 ，即解关于的二元一次方程组，得 所以，所求双曲线的标准方程为 变式例题1 点A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程 分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角
6、形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件 解：设的重心G的坐标为，则点A的坐标为因为点A位于双曲线上，从而有，即所以，的重心G的轨迹方程为 点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种 例1是直接利用待定系数法求轨迹方程 本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质 变式例题2 已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨
7、迹分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时，由得,即 所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的 例2 一炮弹在某处爆
8、炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 ms，求曲线的方程分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值 解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上(2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合设爆炸点P的坐标为，则 |PA|PB|=3402=680，即 2680，340又
9、|AB|=800， 2c=800，c=400，44400 |PA|PB|6800， 0所求双曲线的方程为 （0）例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置这是双曲线的一个重要应用想一想，如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上（爆炸点应在线段AB的中垂线上）点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学
10、”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力例3求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为r，则由动圆与定圆都外切得，又因为，由双曲线的定义可知，点M的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为： （四）课堂练习：1求焦点在 轴上， ，且过点 的双曲线的标准方程2已知 、 、 ，椭圆过 、 两点且以 为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹（第1题可在例1后练习，第2题可在例3后练习）答案：1设所求双曲线方程为 ，由题意得 解得 故所求双曲线方程为 2设椭圆的另一焦点 ，由题意得 ， 而 ， 于是 ，根据双曲线定义可知
11、在以 、 为焦点的双曲线的左支上这里 ， ，又 ，故椭圆的另一焦点 的轨迹方程为 （五）总结提炼1求双曲线的标准方程一般应先判定焦点所在的坐标轴，其次再确定 ， 的值若已知双曲线经过两个定点，求双曲线方程，设所求双曲线方程为 列出关于 、 的二元一次方程组求出 、 既避免了讨论又降低了方程组、未知数的次数，大大减少所需的运算，体现了由繁至简的化归思想2求曲线轨迹方程一定要验证，把不满足条件的点、线去掉（六）课后作业：1若点 是以 、 为焦点的双曲线 上的一点，则 ，且 （ ）A2 B22 C2或22 D4或222方程 所表示的曲线为 若曲线 为椭圆，则 ；若曲线 为双曲线，则 或 ；曲线 不可能是圆；若曲线 表示焦点在 轴上椭圆，则 以上命题正的是（ ）A B C D3如果 表示焦点在 轴上的双曲线，那么它的半焦距 的取值范围是（ ）A B（0，2） C D（1，2）4经过点 与 的双曲线标准方程为_5求与圆 和圆 都外切的圆的圆心 的轨迹方程6设声速为 米/秒，在相距 米的 、 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差6秒，求炮弹爆炸点的轨迹方程答案：1C； 2C；3A；4 ； 5 ；7以 、 两哨所所在的直线为 轴，它的中垂线为 轴建立直角坐标系得炮弹爆炸点的轨迹方程为 （七）板书设计8.3 双曲线及其标准方程（二）（一）复习提问问题1问题2（二）例题分析例1例2例3学生练习三、小结
