1、 1单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为.如果对于定义域内某个区间D上的，当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数任意两个自变量的值x1，x2f(x1)f(x2)如果对于定义域内某个区间D上的，当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 如果函数yf(x)在区间D上是，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做f(x)的单调区间任意两个自变量的值x1，x2f(x1)f(x2)增函数或减函数单调性 2函数单调性的应用(1)比较大小；(2)求函数的值域或最值；(3)解、证不等式；(4)作函数的图象 3证明函数单调性的方法(1)定义法(基本
2、方法)：其一般步骤是：取值：设x1、x2为所给区间内D的任意两个值，且x1x2；作差(正值可作商)：f(x1)f(x2)；变形；定号；结论(2)导数法：求导f(x)；判断f(x)在区间上的符号；结论：f(x)0f(x)在上为，f(x)0f(x)在上为增函数减函数 4判断函数单调性的方法(1)定义法；(2)求导法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用图象 5复合函数的单调性 对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为；若tg
3、(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为简称为：同增异减增函数减函数 6函数的最大(小)值(1)定义：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M(f(x)M)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(最小值)(2)求法：配方法；判别式法；不等式法；换元法；数形结合；单调性法(3)求最值时注意的问题 求函数最值的方法，实质与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异 无论何种方法求最值，都要考虑“”能否成立 7函数的值域(1)函数的值域的概念 在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值
4、域(2)确定函数值域的原则 当函数yf(x)用列表法给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合 当函数yf(x)由图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合 当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定 当函数由实际问题给出时，函数的值域还应考虑问题的实际意义 1如果函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围是()A3，)B(，3 C(，5 D3，)解析f(x)x22(a1)x2的对称轴为x1a，f(x)在(，1a上是减函数，要使f(x)在区间(，4上是减函数，则只需1a4，即a3.答案B 答案C 3(2010山
5、东文数)函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，)B0，)C(1，)D1，)答案A 点评与警示用定义证明函数的单调性就是在定义域内取任意两数x1，x2(x1x2)，再证f(x1)f(x2)0.这通常需要将f(x1)f(x2)分解成几个可判断符号的式子的乘积已知函数f(x)x3ax.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由 解(1)解法一：(定义法)设x1x2，由f(x)为增函数，得f(x1)f(x2)0，所以x13ax1x23ax20，即(x1x2)(x12x22x
6、1x2a)0.由 于 x1 x20，即ax12x22x1x2对一切x10，所以只需a0.即a0时，函数f(x)在R上单调递增 解法二：(导数法)，因为f(x)3x2a，若f(x)在R上递增，则由f(x)0，得3x2a0，即a3x2在R上总成立所以a0.又容易知道，当a0时，f(x)在R上是增函数，所以a0为所求(2)由于3x2a3x2.而x(1,1)时，03x20，则f(x)递增；若f(x)0.则f(x)递减已知函数f(x)x33ax.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由
7、 解定义法(导数法)(1)a0(2)a1时 分析(1)的求解可用赋值法；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(xy)f(x)f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)f(x)f(y)进行适当配凑将所给不等式化为fg(x)f(a)的形式，再利用f(x)的单调性脱去符号“f”求解 点评与警示本题中的函数是抽象形式的函数，涉及了函数在某点处的值，函数单调性的证明、不等式的求解在本题的求解中，一个典型的方法技能是根据所给式子f(xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑 4函数的最值求法(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法(2)函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断其增减性是求最值和值域的前提，当然，函数图象是函数单调性的最直观体现(3)基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(4)导数法：当函数结构形式较复杂(如指数、对数函数与多项式等的组合式)时，一般采用此法(5)数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围
