1、山西省长治市第二中学校2021届高三数学9月质量调研考试试题 文注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。3全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4本试题满分150分，考试时间120分钟。5考试范围：高考全部内容。第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知集合，则（ ）ABCD2已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）ABCD3已知圆，直线交圆于，两点，则（ ）ABCD4若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）ABCD5“勾股定理
2、”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）ABCD6某几何体的三视图如图，是边长为的等边三角形，为线段的中点，三视图中的点，分别对应几何体中的点，则在几何体侧面展开图中，之间的距离为（ ）A BCD7数列，均为等比数列，前项和分别为，若，则（ ）ABCD8已知函数图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值是（ ）ABCD9在中
3、，内角、的对边分别为，满足，的面积为，则的外接圆半径为（ ）ABCD10已知函数，则的值域为（ ）ABCD11已知，分别是双曲线的左、右焦点，是右支上过的一条弦，且，则的离心率为（ ）ABCD12在菱形中，将沿折起到的位置，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD 第卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13已知，满足约束条件，使取得最小值的最优解有无数个，则的值为_14已知，若向量，的夹角为，则实数_15直线与曲线相切于点，则的值为_16已知函数，若有三个不同的实数，使得，则的取值范围是_三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。必考题：共60分。17（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，（1）求的表达式； （2）设，求数列的前项和18（本题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于小时的有人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于分分数不足分合计线上学习时间不少于小时线上学习时间不足小时合计（1）请完成上面列联
5、表；并判断是否有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于分和分数不足分的两组学生中抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生，求抽取的两名学生分数都不足的概率（下面的临界值表供参考）（参考公式，其中）19（本题满分12分）如图，四边形是边长为的正方形，平面，且（1）求证：平面平面（2）线段上是存在一点，使三棱锥的高？若存在，请求的值：若不存在，请说明理由20（本题满分12分）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点到两焦点的距离之和为，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线
6、段被直线垂直平分，直线与椭圆交于点（异于点），求证直线的斜率为定值21（本题满分12分）已知函数（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）当时，求证：在上有唯一零点（二）选考题，共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（本题满分10分）已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点，求的中点到直线：的距离的最小值。23选修45：不等式选讲（本题满分10分）设函数（1）求不等式的解集；（2）设，函数的最小值为，且，求
7、证：文科数学答案一、选择题1B 2A 3C 4D 5A 6C 7B 8B 9D 10B 11C 12D二、填空题： 13 14 15 16 三、解答题： 17解：(1)设等差数列的首项为，公差为，由题意得： 1分解得： 2分3分5分（2）由（1）可知 7分 11分的表达式为12分18解：（1）分数不少于分分数不足分合计每周线上学习数学时间不少于小时每周线上学习数学时间不足小时合计由列联表可知：，所以有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；5分（2）由分层抽样知，需要从分数不足分的学生中抽取，则分数不少于分的抽取人 7分设分数不少于分的人为：分数不足分的人为：则基本事件为：10
8、分两名学生分数都不足分的概率12分19解：（1）平面，平面，平面,2分又，平面4分又面，平面5分（2），假设线段上存在一点满足题意，6分由（1）知，平面平面，平面平面又，平面，则8分，平面，又平面，平面，平面，平面，点到平面的距离与点到平面的距离相等又10分又，12分20解：（1）设，由条件知，1分所以，所以2分故椭圆的方程为4分（2） 由题得的坐标为， 5分直线不与轴垂直，设直线，则直线， 6分设将直线方程代入椭圆整理得：，8分同理可得，又，10 分所以直线的斜率为定值12分21解：（1）当时，函数，定义域为1分则，则，2分故的图象在处的切线方程为，即3分（2）证明：4分因为，令，得；令，得
9、又，在上单调递减，在上单调递增5分6分令显然在上单调递减7分又所以，即8分（其它方法证得也给分，但直接判断小于0不给分）令，9分（找其它合理的点或用放缩法构造函数找点只要合理也给分）则令，则，所以在上单调递增，则，所以，故，10分所以在上单调递增，所以11分（若用极限的思想得出结论只得1分（9分11分之间）又，结合单调性可知在上有唯一零点，命题得证12分（二）选考题：22解：（1）点的直角坐标为；1分由得 2分将，代入，可得曲线的直角坐标方程为4分（2）直线 的直角坐标方程为，6分设点的直角坐标为，则，7分那么到直线的距离：，所以到直线的距离的最小值为10分23解： （1）2分，或，或，4分不等式的解集为；5分（2）证明：由（1）知， ，7分，当且仅当，即，时取等号，10分
