1、第讲4函数的单调性函数的单调性（第二课时）（第二课时）第二章函数1题型四：利用单调性求参数的取值范围1.设aR，为常数，已知函数f(x)=lg(ax-1)-lg(x-1)在区间10，+)上单调递增，求a的取值范围.2解法1：由已知，当x1x210时，有f(x1)f(x2)恒成立，即lg(ax1-1)-lg(x1-1)lg(ax2-1)-lg(x2-1)(ax1-1)(x2-1)(ax2-1)(x1-1)ax2-103即(a-1)(x1-x2)0所以 a-10恒成立.因为所以所以a的取值范围是4解法2：因为在10，+)上是增函数，所以在10，+)上是增函数.又在10，+)上是减函数，所以a-10
2、，即a1.因为当x10，+)时f(x)有意义，所以当x10时，ax-10恒成立，即恒成立，所以故5点评：由函数的单调性逆求参数的取值范围，即根据单调性质得出相应的不等式(组)，由此不等式(组)恒成立，得出相应参数的取值范围，注意函数定义域的应用.6(1)若函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间1，2上是单调函数，求a的取值范围;(2)若函数在区间(-2,+)上是增函数，求a的取值范围.7 (1)f(x)=x2+(2a+1)x+1故对称轴为要使f(x)在区间1,2上是单调函数，需解得所以a的取值范围为8(2)若要使f(x)在(-2,+)上是增函数，则需1-2a0,即，所以a的取值范围为9题
3、型五：利用函数单调性求解函数不等式2.已知奇函数y=f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，若f(m-1)+f(2m-1)0，求实数m的取值范围.10因为f(m-1)-f(2m-1)，且f(x)为奇函数，所以f(m-1)f(1-2m).又因为f(x)在(-2，2)上递减，所以-2m-11-2m2，即所以m的取值范围为11点评：与函数有关的不等式的解法，关键是根据单调性质剥掉外层符号“f”，得出相应的具体不等式，特别注意函数定义域这一个隐含条件不能忽略.12设函数解不等式f(x2+x-1)1.显然，f(x)的定义域为(0，+).又因为和在(0，+)上都是增函数，所以f(x)在(0，+)上是增函数
4、.13又f(1)=1，所以不等式化为f(x2+x-1)f(1)0 x2+x-11，即 x2+x-10 x2+x-20.由此解得14题型六：抽象函数的单调性问题3.已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(1)0，且对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y).若f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR都成立，求实数k的取值范围.15取x=y=0，则f(0)=2f(0)f(0)=0，所以不等式可化为f(k3x+3x-9x-2)f(0).因为f(x)是单调函数，f(1)0=f(0)，所以f(x)是R上的单调递增函数，从而不等式等价于k3x+3x-9x-20，即恒成立.16所以因为当且仅
5、当时取等号，所以故k的取值范围是17点评：解决抽象函数问题，其策略是利用赋值法或配凑法，如本题中令x=y=0，得到f(0)=0，从而将不等式化为f(k3x)+f(3x-9x-2)f(0),再利用函数的性质剥掉外层符号“f”，即可求解.有时还可以找一具体函数来理解，如本题中的具体函数是f(x)=kx.18已知f(x)是定义在(0，+)上的增函数，且对任意x，y0，有f(xy)=f(x)+f(y)，若f(2)=1，解不等式f(x)+f(x-3)2.19取x=y=2，则f(4)=2f(2)=2，所以不等式化为fx(x-3)f(4).因为f(x)是定义在(0，+)上的增函数，所以 x(x-3)4 x-30 x0，即，解得3x4.所以原不等式的解集是(3，4.x2-3x-40 x3201.判定抽象函数的单调性，一般用定义法，但要注意对抽象函数的性质条件作适当变通，如当函数f(x)为奇函数时，f(x)+f(y)=f(x+y)f(x)-f(y)=f(x-y).212.求单调函数中参数的取值范围，是单调性概念的逆向运用，一般通过分离参数，转化为不等式恒成立问题来解决.需要注意的是，所有的不等式变形都必须在题设单调区间或函数定义域内进行.3.利用函数单调性比较大小、证不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强单调性的应用意识，提高解题技能.22
