1、第讲3函数的值域函数的值域（第二课时）（第二课时）第二章函数1专题四：用不等式法求函数的值域 1.求下列函数的值域：(1)(2)2 (1)因为所以所以3当且仅当即时等号成立.所以所以原函数的值域为4(2)原函数可化为sinx-ycosx=1-2y，所以(其中)，所以所以所以3y2-4y0，所以所以原函数的值域为5点评：对于求形如或(x-de或x-de)的值域，常用均值不等式求解，求解时注意“一正，二定，三相等”三个条件须同时成立.6将上题(1)中条件改为呢?因为所以所以7当且仅当即时等号成立.所以所以原函数的值域为8题型五：有关值域的逆向思维问题2.设a0为常数，函数已知当xm，n(nm0)时
2、，f(x)的值域也是m，n，求a的取值范围.9因为f(x)在(0，+)上是增函数，所以当nm0时，f(x)在m，n上是增函数.因为当xm，n时，f(x)m，n，所以 f(m)=mf(n)=n，10从而m，n是关于x的方程的两个不等正根.由得所以解得故a的取值范围是11点评：解决函数的定义域与值域对应的问题，一般先根据函数的单调性，找到定义域与值域的端点值的对应关系，然后由此得出相应参数的方程(或不等式)，再求解得出参数的取值或取值范围.12若函数的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值.13设去分母得yx2-ax+y-b=0，y=0显然在函数值域-1，4内；y0时，xR，所以=a2-4y(
3、y-b)0，即4y2-4by-a20的解为-1y4.所以方程4y2-4by-a2=0的两根为-1，4，由韦达定理知，b=-1+4=3，所以a=4，b=3或a=-4，b=3.14题型六：恒成立与存在性问题3.若不等式对一切成立，求a的最小值.构造函数则当时，y0，所以在上单调递增.15因为所以又因为af(x)恒成立 a故a的最小值为16点评：不等式的恒成立问题，可以构造函数，利用函数的最值问题来解决.求函数的最值的方法与求函数的值域的方法是类似的，此类题综合了函数、方程、不等式等知识，注意三者之间的相互转化与联系.17(原创)关于x的不等式在区间1，2上有解，求a的取值范围.18构造函数则当x1
4、，2时，f(x)0，所以f(x)在区间1，2上是减函数.所以x1，2时，f(x)min=f(2)=因为在区间1，2上有解，则af(x)min=故a的取值范围是，+).19题型实际应用问题如图，在边长为1的正三角形ABC中，P、Q、R分别为边BC、CA、AB上的点，且CQ=2BP，AR=3BP，求PQR的面积S的取值范围.参考题20设BP=x，则S=SABC-SBPR-SPCQ-SARQ又03x1，即21所以函数的定义域为所以当时，当x=0时，所以S的取值范围是221.求函数值域的常用方法:配方法、判别式法、换元法、不等式法、有界性法、单调性法、图象法、反函数法、几何法等.2.已知函数的定义域或值域，求参数的值或取值范围，关键是要将题设条件转化为关于参数的方程(组)或不等式(组).3.对于求含参数的方程有实根的条件，若能分离参数，则可转化为函数的值域求解.234.恒成立问题：f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa.5.存在性问题：存在x，使f(x)a成立f(x)maxa；存在x，使f(x)a成立f(x)mina.24
