1、塘沽一中2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学学科试题一、选择题(本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1. 已知集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接计算并集即可.【详解】由已知集合则.故选：B.2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据基本初等函数的单调性求解即可.【详解】对于A：指数函数在上单调递减；对于B：反比例函数在上单调递减；对于C：当时，当，不满足在区间上单调递增；对于D：幂函数在上单调递增.故选：D.3. “”是”的（ ）
2、A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要分件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解决，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，解得或，因为“”是“或”充分不必要条件，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A.4. 设a，b，c为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可判断选项的对错【详解】选项中，若，错；选项中，因为，所以，即，正确；选项中，错；选项中，错；故选：【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5. 命题“”的否定为（ ）A. B. C.
3、D. 【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“”的否定为“”.故选：B.6. 已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为， ，又因为在上单调递增，所以，即.故选：D.7. 已知函数，则的值是（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】直接代入分段函数计算即可.【详解】由已知，.故选：C.8. 已知函数为奇函数,且当时, ,则 A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【详解】因为是奇函数，所以，故选A.9
4、. 已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为（ ）A. B. 1C. 2或D. 2【答案】A【解析】【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】 是幂函数，即，解得，或，又当 时，单调递减，当时，不合题意，舍去；当，符合题意，故故选：A10. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用增函数的定义求解即可.【详解】对任意，当时都有成立，所以函数在上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C11. 已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数m满足，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案
5、】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，建立不等式，求解之，可得选项.【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递减，又，所以不等式等价于，即，所以，解得，所以m的取值范围是，故选：C【点睛】本题主要考查抽象函数的的单调性和奇偶性，以及利用单调性函数求解不等式，属于中档题，利用单调性函数解不等式应注意以下三点: (1)一定注意函数定义域(这一点是同学们容易疏忽的地方,不能掉以轻心) ; (2 )注意应用函数的奇偶性(往往需要先证明是奇函数还是偶函数) ; (3)化成之类的关系后再利用单调性和定义域列不等式组.12. 已知关于的不等式的解集
6、是，则下列说法中正确的个数为（ ）关于的不等式的解集是的最小值是若有解，则实数m的取值范围是或当时，的值域是，则的取值范围是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先通过不等式的解集和方程的根之间的关系求出的关系，将的关系带入中不等式求解即可判断，利用基本不等式求最小值即可判断，利用函数单调性求的最小值，然后解不等式可判断，代入的值，利用二次函数的性质判断.【详解】关于的不等式的解集是，即关于的方程的根是和，且，由韦达定理得，对于，关于的不等式即，又，则不等式为，解得，正确；对于，当且仅当，即时等号成立，正确；对于，有解，因为，令，则对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递
7、增，故，解不为或，错误；对于，当时，其值域为，令，解得或，当时，此时，当时，此时，即的取值范围是，正确.所以正确的个数为故选：C二、填空题(每小题5分，共40分)13. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】要使函数式有意义，列出不等式组求解即可.【详解】要使有意义，只需满足，解得且.所以定义域为.故答案为：14. 若“”是“”的必要不充分条件，则a的最大值为_【答案】2【解析】【分析】解不等式后由必要不充分条件的概念判断.【详解】由得，或.若“”是“”的必要不充分条件，则，则，即a的最大值为.故答案为：.15. 若函数（且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则_.【答案】16【解析】【分
8、析】先求出函数所过定点坐标，再将其代入幂函数中，求出幂函数解析式，得到答案.【详解】恒过点，故，将其代入中，解得，故，所以.故答案为：1616. 已知、都是正数，且，则的最小值为_【答案】5【解析】分析】根据基本不等式，得到，求解即可得出结果.【详解】因为、都是正数，且，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，则，解得或（舍）所以最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
9、（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中代表拟录用人数，代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为_【答案】75【解析】【分析】这是已知函数值求自变量的问题，又是分段函数，所以分类讨论求解即可【详解】解：令y160，若4x160，则x4010，不合题意；若2x10160，则x75，满足题意；若1.5x160，则，不合题意故拟录用人数为75故答案为：75【点睛】本题考查的是分段函数问题，在解答的过程当中充分体现了应用题的特
10、性、分段函数的知识以及问题转化的思想，属于基础题18. 已知函数（1）若,且值域为,则实数a的取值范围为_ （2）若存在实数a,使值域为,则实数t的取值范围为_【答案】 . . 【解析】【分析】(1)根据题意有画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t的改变图像的变化情况判断即可.【详解】(1)画出图像易得,当时（舍去负值）.故实数a的取值范围为.(2)用虚线画出的整体图像,再分析随着t的改变图像的变化情况.由图,当时,（舍去负值）.由图可知,时, 存在实数满足值域为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当
11、参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型.三、解答题(每题15分，共60分，规范书写解题过程)19. 已知集合 .（1）当时，求;（2）若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）利用集合的补集和交集、并集运算求解即可；（2）由，列不等式组即可得解；（3）由，可知集合A与集合没有公共元素，则有或，求解即可得答案.【小问1详解】当时，所以，或，所以.【小问2详解】因为，所以，若，则；综上，.所以实数m取值范围为.【小问3详解】因为，又， ，当集合时，有：，解得：；当集合时，有：或，解得
12、：.综上所述：实数的取值范围为：.20. 设 （1）当时，求解不等式 （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围：（3）解关于的不等式 .【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析【解析】【分析】（1）因式分解得出相应方程的解，由此写出不等式的解；（2）注意分类讨论，直接说明，时，由二次不等式恒成立得关系式；（3）按与的大小关系分类讨论可得【小问1详解】，不等式为，所以不等式的解集为；【小问2详解】由已知在实数集上恒成立，即恒成立，时，不等式为恒成立，时，解得，综上，；【小问3详解】由已知不等式为，即，时，不等式解为，时，不等式解为或，时，不等式解为或，综上，时，不等式解集为，时，不等
13、式解集为，时，不等式解集为21. 已知函数 （1）用定义证明函数在定义域上为增函数；（2）若 时，函数的最大值与最小值的差为， 求实数的值；（3）求解不等式 【答案】21. 证明见解析 22. 23. 【解析】【分析】（1）由单调性定义证明；（2）由单调性得最大值和最小值，再由差为可得；（3）根据单调性求解，注意函数的定义域【小问1详解】设任意，因为，所以，所以，即，所以在上是增函数；【小问2详解】由（1）知在上是增函数，所以，解得；【小问3详解】是上的增函数，由得，解得所以不等式的解集为22. 已知函数（1）当时，解关于x的方程（2）若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式；（3）在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）直接将代入解方程即可；（2）先通过，求出，再代入证明其为奇函数即可；（3）先将带入条件求出，再将带入不等式，参变分离得恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可.【小问1详解】当时，即，整理得，即，得或（舍去）；【小问2详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则且，解得，即，证明：，故是定义在R上的奇函数，【小问3详解】在(2)的前提下，整理得，代入得，即恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，
