1、河东区20212022学年度第一学期期末质量检测高二数学试卷本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！2本卷共9小题，每小题4分，共36分.一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 双曲线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先确定双曲线焦点的位置，然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值，进而得到半焦距的值，由此可得焦点坐标【详
2、解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，双曲线的焦点坐标为故选：A2. 如果抛物线的准线是直线x1，那么它的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.【详解】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.故选：D3. 已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（ ）A. =1B. =1C. =1D. =1【答案】B【解析】【分析】根据焦点位置及渐近线方程直接写出双曲线方程即可.【详解】由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为，双曲线的标准方程是.故选：B4. 已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向准线作垂线，垂足为Q，若，
3、则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据题意作出简图，可得为等边三角形，在中求解可得，从而得解.【详解】根据题意作出简图，如图所示：根据抛物线的定义可知，结合，可得为等边三角形，所以，在中，因为，所以，所以.故选：D.5. 已知，分别为双曲线的左，右焦点，双曲线上的点A满足，且的中点在轴上，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由“，的中点在轴上”可知，可知，根据几何关系列出关于a和c的齐次式，构造离心率即可得答案【详解】设，双曲线上的点A满足，的中点在轴上，可得，即有轴，A的横坐标为，如图所示：令，可得，在直角三角形中，可得
4、，即为，即，解得，或(不合题意，舍去)；双曲线的离心率是故选：B6. 已知数列是公差不为零的等差数列，若，且（），设，则数列的前n项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算得，进而得，利用裂项相消法求和即可.【详解】数列是公差不为零的等差数列，设公差为，解得，所以，所以，所以数列前n项和.故选：A.7. 在正项等比数列中，则数列的前9项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质可得到答案【详解】由题意知故选：B8. 已知数列满足且，则的值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 4【答案】A【解析】【分
5、析】根据数列递推公式，可知数列是周期为的周期数列，由此即可求出结果.【详解】因为数列满足且，所以，所以，又，所以，又，所以所以，所以数列是周期为的周期数列，所以.故选：A.9. 我国古代数学名著算法统宗记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关要见每朝行里数，请公仔细算相还意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（ ）A. 96B. 48C. 24D. 12【答
6、案】C【解析】【分析】每天所走的里程构成公比为的等比数列，设第一天走了里，利用等比数列基本量代换，直接求解.【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为的等比数列.第一天走了里，第4天走了故选：C第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上.2本卷共11小题，共64分.二填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分10. 设各项均为正数的等差数列的前n（）项和为，且是与的等比中项，则数列的公差d为_【答案】1【解析】【分析】设各项均为正数的等差数列的公差为，根据基本量列方程求解.【详解】设各项均为正数的等差数列的公差为，因为是与的等比中项，所以，所以，解得或（舍）.经检验
7、满足题意.故答案为：1.11. 若数列的通项公式，其前5项和_【答案】【解析】【分析】先判断数列为等比数列，再用求和公式求解即可【详解】数列的通项公式，则，故数列首项为2公比为2的等比数列，所以故答案为：12. 已知数列的前n项和为，若，则的最大值为_【答案】30【解析】【分析】先判定数列为等差数列，再令，解得.可得最大值为，即得解.【详解】由可得数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，令，解得.所以则的最大值为.故答案为：30.13. 已知是数列的前项和，则_；若，则_.【答案】 . . 218【解析】【分析】根据题意得到，两式作差得到再检验首项即可得到结果；当时，当时，将代入第二个式子即可
8、得到答案.【详解】，则，两式作差得到，当时成立，故得到；当时，当时， 故得到：，.故答案为：；.14. 已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于,两点，若，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到，然后利用计算即可.【详解】如图，作垂直右准线交右准线于点，作垂直右准线交右准线于点作垂直于点由，设，则由所以，又直线的斜率为，所以所以故答案为：15. 若方程所表示的曲线为C，给出下列命题：若C为椭圆，则实数t的取值范围为；若C为双曲线，则实数t的取值范围为；曲线C不可能是圆；若C为椭圆，且长轴在x轴上，则实数t的取值范围为，其中真命题的序号为_（把
9、所有正确命题的序号都填在横线上）【答案】#【解析】【分析】若C为椭圆，则需要满足，解出不等式组，即可判正误；若C为双曲线，则满足，解出不等式，即可判正误；当曲线C为圆，则需要满足，解出不等式组，即可判正误；若C为椭圆，且长轴在x轴上，则需要满足解出不等式组，即可判正误.【详解】方程所表示的曲线为C，若C为椭圆，则需要满足 故不正确；若C为双曲线，则满足或，故正确；当曲线C为圆，则需要满足，故错误；若C为椭圆，且长轴在x轴上，则需要满足，故正确；故答案为：.三解答题：本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 已知椭圆的方程为9𝑥2+ 4𝑦
10、;2=36，写出它的长轴长、短轴长和焦点坐标.【答案】长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，.【解析】【分析】把椭圆方程化为标准方程，判断焦点位置，可得答案.【详解】椭圆的方程化为标准方程为，因为，所以焦点在轴上，所以，所以，所以长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，.17. 已知正项数列的前项和为，.（1）求、；（2）求证：数列是等差数列.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接在数列递推式中取即可求、（2）在数列递推式中将换成，得另一递推式后作差，整理即可证明数列是等差数列【详解】（1）由已知条件得：.又有，即.解得（舍）或.（2）由得时：，即，即，经过验证也成立，所以数列是首项
11、为1，公差为2的等差数列.【点睛】利用与的关系，多递推一次再相减的思想，结合等差数列的定义，证明等差数列.18. 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点A（4，2），F为抛物线的焦点（1）求抛物线C的方程；（2）若B（4，1），P为抛物线上一动点，求的最小值【答案】（1）y2x或x28y （2）最小值为或【解析】【分析】（1）讨论焦点的位置，结合条件即求；（2）利用图象数形结合即得.【小问1详解】当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线：y22px（p0）又抛物线过A(4,2)，即，抛物线方程为y2x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线：x22py(p0)抛物线过A(4,2)，抛物线方程
12、为x28y综上抛物线方程：y2x或x28y.【小问2详解】当抛物线：x28y，如图则当F、P、B三点共线时，P在F、B之间时，取得最小值，此时，又F（0，2）， B（4，1），当抛物线：y2x时，过P作PM准线l于M，当B、P、M共线时，取得最小值，又准线l：，此时.综上：最小值为或.19. 已知中心在原点，焦点为，的椭圆经过点.（1）求椭圆方程；（2）若M是椭圆上任意一点，交椭圆于点A，交椭圆于点B，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆第一定义，结合两点距离公式求a，即可写出椭圆方程.（2）法一：构建以左焦点为极点，为极轴建立极坐标系，椭圆方程为(为离心率且)，设，
13、即可求、，进而得到、；法二：设M，A， 在左准线上的射影分别为，Q，利用相似比求、，即可求【详解】（1）设椭圆方程为.由椭圆定义知：，即，又，故椭圆方程为.（2）法一：以左焦点为极点，为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为(为离心率且).设，则，.，即.同理，有.法二：设M，A， 在左准线上的射影分别为，Q，如下图，由相似形及和分比定理得，同理，得，.【点睛】关键点点睛：第二问，通过构建极坐标系，利用椭圆极坐标方程求线段比，或利用M，A， 在准线上的射影，结合相似比求线段比，进而求目标式的值.20. 已知等差数列中，数列满足，（1）求，的通项公式；（2）任意，求数列的前2n项和【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据等差等比的基本量运算求解即可；（2）分奇数项和偶数项分别求和即可，奇数项用乘公比错位相减，偶数项用裂项相消求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得，所以，数列满足，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，【小问2详解】由（1）可知，当为奇数时，设，两式相减可得：，整理得：，当为偶数时，设，所以数列的前2n项和为
