1、结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义1奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)_f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)_f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称；(2)考查表达式 f(x)是否等于 f(x)或f(x)：若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)_f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)_f(x)
2、，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数3奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数思考探究1：奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件4周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，
3、都有f(xT)_f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期思考探究2：如果T是函数yf(x)的周期，那么kT(kZ)是否一定也是该函数的周期？提示：当k0时，不是；k0时，是3(2011年汉台中学)已知定义在R上的奇函数f(x)满足 f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1B0C1 D2解析：由f(x2)f(x)知f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，故知函数yf(x)的周期为4，f(6)f(42)f(2)f(0)f(x)是R上的奇函数，易知f(0)
4、0，f(6)f(0)0，选B.答案：B考点一 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的一般步骤1首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称；若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数2若定义域关于原点对称，再判定f(x)与 f(x)之间的关系(1)若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则 f(x)为奇函数；(2)若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则 f(x)为偶函数；(3)若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；(4)若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数若x为有理数，则x也是有理数，f(x)f(x)1.综上可知，对任意实数
5、x都有f(x)f(x)f(x)为偶函数考点二 抽象函数的奇偶性与单调性(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；(2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性(2)解：解法一：设x，y是正实数，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)x是正实数，f(x)0，f(xy)f(x)0，f(xy)x，f(x)在(0，)上是减函数又f(x)为奇函数，f(0)0，f(x)在(，)上是减函数f(2)为最大值，f(6)为最小值变式迁移2已知yf(x)是定义在R上的偶函数，且f
6、(x)在(0，)上是增函数，如果x10，且|x1|0Bf(x1)f(x2)0Df(x1)f(x2)0解析：x10，|x1|x2|0 x1x2又 f(x)是(0，)上的增函数，f(x1)f(x2)又f(x)为定义在R上的偶函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0时，0f(x)0；(3)求证：f(x)在R上是减函数(2)设x0，由条件可知f(x)0，又因为1f(0)f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)0.所以当xR时，恒有 f(x)0.(3)设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)1f(x2x1)因为x10，所以0f(x2x1)0.又因为f(x1)0，所以f(x1)1f(x2x1)0.所以f(x1)f(x2)0，即该函数在R上是减函数
