1、考纲定位1了解函数单调性和导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)3了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(其中多项式函数一般不超过三次)4会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会利用导数解决某些实际问题(其中多项式函数一般不超过三次)教材回归1函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f_(x)0吗？f(x)0是否是 f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f
2、(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件2函数的极值与导数(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f_(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近，左侧f_(x)0，右侧f_(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)如果在区间
3、a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤求函数 yf(x)在(a，b)内的极值将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值思考探究2：函数的极值和最值有哪些区别？提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a
4、，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值三基强化1函数yx33x的单调递减区间是()A(，0)B(0，)C(1,1)D(，1)，(1，)解析：y3x23，由3x230，得1x1.答案：C2函数f(x)x3ax2在区间(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A3，)B3，)C(3，)D(，3)解析：f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，f(x)3x2a0在(1，)上恒成立即a3x2在(1，)上恒成立又在(1，)上3x20的x的取值范围为增区间；使导函数yf(x)0时f(x)为增函数；f(x)0时 f(x)为减函数3已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f(x)
5、在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f(x)0(或 f(x)0)，x(a，b)恒成立，且 f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f(x0)0，甚至可以在无穷多个点处 f(x0)0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间例1(2010全国)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求 f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围变式迁移1设函数f(x)x3ax29x1(a0，故 f(x)在(，1)上为增函数；当x(1,3)时，f(x)0，故 f(x)在(3
6、，)上为增函数由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)；单调递减区间为(1,3)考点二 函数的极值与导数运用导数求可导函数 yf(x)极值的步骤：1先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数 f(x)；2求方程 f(x)0的根；3检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值特别警示：可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点可导函数 f(x)在点x0处取得极值的充要条件是 f(x0)0且在x0的左侧与右侧的 f(x)的符号不同不可导的点也可能是极值点由此可知，当x变化时，f
7、(x)，f(x)的变化情况如下表：作出不等式组表示的平面区域如图：变式迁移2已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程若x(1,1)，则f(x)0得x0，f(x)0，则f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)考点四 生活中的优化问题在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依
8、据实际意义，该极值点也就是最值点例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)【分析】关键抽象出具体函数关系式，运用导数去解决变式迁移4两县城A和B相距20km，现计划在两y，y随x的变化情况如下表：考情分析导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等，出现率较高其试题类型以选择题和填空题考查导数的
9、运算，属容易题，以解答题考查导数的综合问题，难度较大.2010年全国卷就出了一道导数综合应用的好题考场样题易错盘点1未弄清逻辑关系纠错训练1“在区间(a，b)内f(x)0”是“f(x)在该区间内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解析】一般地，由f(x)0能推出f(x)为增函数，反之，则不一定如函数f(x)x3在区间(，)上单调递增，但是f(x)0.因此f(x)0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件【答案】A2概念应用错误纠错训练2判断正误：对于函数yx3有y3x2，由y0得x0，所以x0是函数yx3的一个极值点()【答案】纠错训练3如若函数f(x)x3ax在R上为增函数，则a的取值范围是_【解析】f(x)3x2a，f(x)在R上为增函数，3x2a0在xR时恒成立a3x2恒成立，即a(3x2)min0，当a0时，f(x)3x2，只有f(0)0；x0时，f(x)0，因此f(x)在R上也是增函数【答案】a03极值与最值概念混淆致误纠错训练4求函数f(x)x3x2x在2,3上的最大值和最小值
