1、第九章 直线、平面、简单几何体第讲（第二课时）11.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4.(1)求直线PQ与平面ADQ所成的角;(2)求异面直线AQ与PB所成的角.题型4 空间角的计算2解：(1)连结AC、BD，设其交点为O，则PO平面ABCD，QO平面ABCD，从而P、O、Q三点共线.分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则由已知可得A(，0，0)，Q(0，0，-2)，D(0，0)，P(0，0，1).3所以=(0，0，-3)，=(-，0，-2)，=(0，-2).设n=(x，y，z)是平面ADQ的一个法向量.由，得取x=1
2、，则z=-，y=-1，所以n=(1，-1，-).4设直线PQ与平面ADQ所成的角为，则sin=|cosn，|所以=.故直线PQ与平面ADQ所成的角为 .(2)因为B(0，0)，所以 =(0，-1).又 =(-，0，-2)，所以cos，=.故异面直线AQ与PB所成的角为arccos .5点评：两向量的夹角公式可直接用来求两直线的夹角；而线面角可转化为直线对应的向量与平面的法向量所成的角；二面角可转化为两个平面的法向量所成的角.另外还需注意所求角与两向量夹角之间的关系.6如图，在长方体ABCD-A1 B1 C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=F
3、B=1.(1)求二面角C-DE-C1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值.解：(1)以A为原点，AB,AD,AA1分别为x轴，y轴，z轴的正向，建立空间直角坐标系A-xyz.7则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2).于是=(3,-3,0),=(1,3,2),=(-4,2,2).设向量n=(x,y,z)与平面C1DE垂直，则有取z=2,则n=(-1,-1,2).则n是一个与平面C1DE垂直的向量.8因为向量=(0，0，2)与平面CDE垂直观察图形知，n与所成的角即为二面角C-DE-C1的平面角.因为cos=所以tan=.所以
4、二面角C-DE-C1的正切值为 .(2)设EC1与FD1所成的角为，则92.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点，求：(1)点M到直线PQ的距离;(2)点M到平面AB1P的距离.解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系B-xyz，则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2).题型5 空间距离的计算10因为=(-2，-3，2)，=(-4，-2，-2)，所以在上的射影长为故点M到PQ的距离为11(2)设n=(x，y，z)是平面AB1P的法向量，则n，n.因为=(-4，0，4)，
5、=(-4，4，0)，所以因此可取n=(1，1，1).由于 =(2，-3，-4)，那么点M到平面AB1P的距离为12点评：利用求向量的长度可求两点间的距离，而点到直线的距离或点到平面的距离可转化为向量的投影长度问题.13在四棱锥P-ABCD中，底面AB C D为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.(1)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离；(2)求(1)中的点N到平面PAC的距离.14解：(1)建立空间直角坐标系，如图.则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(
6、0,0,2)、E(0,1).依题意设N(x,0,z)，则 =(-x,1-z).由于平面PAC，所以15则，即解得，即点N的坐标为(,0,1)，从而点N到AB、AP的距离分别为1，.(2)设点N到平面PAC的距离为d，则161.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为：(1)建立恰当的空间直角坐标系(例如:底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个顶点为原点建立空间直角坐标系；底面是菱形的直四棱柱，往往以底面对角线的交点为原点建立空间直角坐标系);(2)求出相关点的坐标；17(3)写出向量的坐标;(4)结合公式进行论证、计算;(5)转化为几何结论.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一
7、点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直)，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系.182.求空间角和距离有如下一些基本原理：(1)平面的法向量的求法：设n=(x，y，z)，利用n与平面内的两个不共线向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取一组解(如图1).19(2)线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成的角为 (如图2).(3)二面角的求法：AB、CD分别是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为，(如图3).设n1，n2是二面角-l-的两个平面、的法向量，则就是二面角的平面角或其补角(如图4).20(4)异面直线间的距离的求法：l1、l2是两条异面直线，n是l1、l2的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是l1、l2上的任意两点，则 (如图5).21(5)点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，则点B到平面的距离为 (如图6).(6)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用(5)中方法求解.22
