1、第三章单元质量评估第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是(D)A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2.2下列函数存在极值的是(D)Ay2x ByCy3x1 Dyx2解析：画出各选项函数的图像可知，只有yx2存在极值3.已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图像如图所示，则yf(x)(C)A在(，0)上为减函数B在x0处取极小值C在(4，)上为减函数D在x2处取极大值解析：在(，0)
2、上，f(x)0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错；在(4，)上，f(x)0，f(x)为减函数，C对；在x2处取极小值，D错4函数f(x)x34x4在区间0,3上的最大值与最小值之积为(B)A BC D解析：f(x)x24(x2)(x2)当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增，且f(0)4，f(2)，f(3)1.据此可得函数在0,3上的最大值为f(0)4，最小值为f(2)，则最大值与最小值之积为4，故选B.5已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调减函数，则a的最大值为(C)A1 B2C3 D4解析：由题意知f
3、(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，则a3，故选C.6对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(xa)f(x)0，则必有(C)Af(x)f(a) Bf(x)a时f(x)0，当x0 Ba0Ca0 Da0解析：函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是f(x)0有两个不相等的实数根，即3ax210有实根，当a0时显然方程没有实根，当a0时，方程有实根8函数f(x)ax25x6在区间1,3上单调递减，则实数a的取值范围为(C)AaCa Da解析：f(x)2ax5，由于f(x)在1,3上单调递减，故f(x)在1,3上不大于0，故解得a.9若函数f(x)2x36x23a对任意的x
4、(2,2)都有f(x)0，则a的取值范围为(C)A(，3) B(2，)C3，) D(0,3)解析：f(x)2x36x23a，f(x)6x212x6x(x2)，在(2,0)上f(x)0，f(x)单调递增；在(0,2)上f(x)0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值11设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是(D)A(3,0)(3，) B(3,0)(0,3)C(，3)(3，) D(，3)(0,3)解析：设h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(
5、x)，所以h(x)是R上的奇函数，且h(3)h(3)0.当x0，所以h(x)在(，0)上是增函数，根据奇函数的对称性可知，h(x)在(0，)上也是增函数，因此h(x)2，则函数f(x)x3ax21在(0,2)上恰好有(B)A0个零点 B1个零点C2个零点 D3个零点解析：f(x)x3ax21，则f(x)x22axx(x2a)，令f(x)0，得x10，x22a4，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)在(0,2)上单调递减又f(0)f(2)14a0，即ex1，解得x0，所以所求的单调增区间为(，0)14若x2是函数f(x)x(xm)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为32.解析：f(x)x32
6、mx2m2x，f(x)3x24mxm2，f(2)0，128mm20，m2或m6.当m2时，f(x)3x28x4.令f(x)0，则x12，x2，当x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，f(2)是极小值，m2应舍去当m6时，f(x)3x224x36.令f(x)0时，x12，x26，当x6时，f(x)0，当2x6时，f(x)0，f(2)是极大值，f(2)2(26)232.15已知函数f(x)xexc有两个零点，则c的取值范围是(，e1)解析：f(x)ex(x1)，易知f(x)在(，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，且f(x)minf(1)ce1，由题意得ce10，得c0)若当x(0，)时，f
7、(x)2恒成立，则实数a的取值范围是e，)解析：f(x)2即a2x22x2lnx.令g(x)2x22x2lnx，则g(x)2x(12lnx)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)设函数f(x)，求f(x)的单调区间解：f(x).当2kx，即f(x)0；当2kx2k(kZ)时，cosx，即f(x)0.因此f(x)的单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)18(12分)已知函数f(x)lnxexm在x1处有极值，求m的值及f(x)的单调区间解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)exm.由题意得f(1)0，解得m1，f(x)ex1，利用基本
8、函数单调性可知，在(0，)上f(x)单调递减，且f(1)0，所以当0x0，f(x)单调递增，当x1时，f(x)0，f(x)单调递减f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，)19(12分)已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，且当x1,2时，f(x)0得112b0即b.所以b的取值范围是.(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)0，31b0，得b2.则f(x)3x2x2(3x2)(x1)令f(x)0，得x1，x21，又f(1)c，fc，f(1)c，f(2)2c.f(x)max2c2或c1.c的取值范围是(，1)(2，
9、)20(12分)证明：曲线yex与yx2x1在R上有唯一的公共点证明：曲线yex与yx2x1的公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1.当x0时，h(x)0时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增，(x)在R上有唯一的极小值(0)0，即(x)在R上的最小值为(0)0.(x)0在R上恒成立，(x)在R上是单调递增的，(x)在R上有唯一的零点故曲线yex与yx2x1在R上有唯一的公共点21(12分)已知函数f(x)(a0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求
10、f(x)在(0，)内的极值解：(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x)，所以当xr时，f(x)0，当rx0，因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100.无极小值22(12分)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围解：(1)证
11、明：f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0.若m0，f(x)0；当x(0，)时，emx10.所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故f(x)在x0处取得最小值且f(0)1.所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是f(x)在1,1上的最大值f(x)maxe.因为f(1)f(1)emem2m，经求导计算可知，当m0时，f(1)f(1)0，即f(1)f(1)，此时要满足emme1；当m0时，f(1)f(1)0，即f(1)f(1)，此时需满足emme1；当m0时，f(1)f(1)20时，令g(m)emm，则g(m)em10，当m1时，g(1)e1，所以m(0,1)；当m0时，令h(m)emm，则h(m)em10，当m1时，h(1)e1，所以m(1,0)综上，m的取值范围是1,1
