1、第42讲 空间角与距离的求法第42讲 空间角与距离的求法知识梳理第42讲 知识梳理11相等或互补第42讲 知识梳理 (2)直线与平面所成的角设直线l的方向向量为v，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，向量v与n的夹角为1，则_，且sin_.(3)二面角的平面角利用向量求二面角的平面角有两种方法：若AC、BD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量_、_的夹角(如图421所示)第42讲 知识梳理 设n1，n2分别是二面角l的两个面、的法向量，则cosn1，n2_.而n1，n2的大小或补角即为二面角的大小，如图422所示第42讲 知识梳理 (3)利用向量求解点到平
2、面的距离如图423所示，设n是平面的法向量，A是平面上任一点，OP平面，点P到平面的距离为d，则 d_.求点P到平面的距离的步骤为：求出平面的一个_；找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的_；应用公式d_，求出点P到平面的距离为d.第42讲 知识梳理法向量n (4)线与面、面与面的距离都可以化归为_的距离求解 (5)利用向量求两异面直线的距离如图424所示，l1、l2是两条异面直线，n是l1与l2的公垂线段AC的方向向量，B、D分别是l1、l2上的任意两点，则l1与l2的距离是d_.第42讲 知识梳理点到平面要点探究 探究点1 异面直线所成的角第42讲 要点探究第42讲 要点探究 思路 本题
3、把展开图还原为正方体后，可以利用直线的方向向量，把两异面直线的问题转化为两方向向量的夹角，通过向量的夹角公式求得结果由于题目所给的载体是正方体，容易建立空间直角坐标系第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究 思路 本题以正方体为载体，容易建立空间直角坐标系，转化为向量与的夹角问题求解第42讲 要点探究第42讲 要点探究 探究点2 直线和平面所成的角第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究 探究点3 二面角第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第
4、42讲 要点探究第42讲 要点探究 探究点4 两点间的距离第42讲 要点探究第42讲 要点探究 解答 如图所示，过D作DEAC，垂足为E，过B作BFAC，垂足为F.第42讲 要点探究 探究点5 点到面的距离第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究第42讲 要点探究规律总结第42讲 规律总结 1用空间向量解决立体几何问题的思路与步骤 (1)用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思路：一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建立坐标系；另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建立坐标系 (2)用空间向量
5、解决立体几何问题的一般步骤是：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第42讲 要点探究 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义，即回归到图形问题 2求空间角(异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角)一直是高考的热点，空间中的各类角都可以转化为向量之间的角；而用向量法求解时，只需利用公式，通过简单的向量运算即可解决求解时，应注意下面几点：第42讲 要点探究 (1)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 (2)在求直线和平面所成的角时，误认
6、为直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线和平面所成的角，当是钝角，90；当是锐角时，90.第42讲 要点探究第42讲 要点探究 (3)要注意二面角与它的两个面的法向量所成的角的关系：设n1，n2分别是二面角l的两个面、的法向量，若n1，n2与、的关系如图4212(1)(2)所示，则二面角的平面角与两个法向量的夹角互补；第42讲 要点探究第42讲 要点探究 若n1，n2与、的关系如图4212(3)(4)所示，则二面角的平面角与两个法向量的夹角相等 3空间中点到平面的距离的计算是立体几何中的一个难点，也是高考中的命题热点，求点到平面的距离，用向量法求解一般有以下方法：(1)求出点在平面内的射影的坐标，转化为两点的距离问题；(2)求出平面的法向量，通过向量在单位法向量上的射影的长度求解
