1、课时素养评价十三导数与函数的单调性(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.函数f(x)=(x-3)ex的递增区间是()A.(-，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，+)【解析】选D.f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex，令f(x)0，即(x-2)ex0，解得x2.2.y=xln x在(0，5)内的单调性是()A.增加的B.减少的C.在内是减少的，在内是增加的D.在内是增加的，在内是减少的【解析】选C.函数的定义域为(0，+).y=ln x+1，令y0，得x；令y0，得0x.所以函数y=xln x在内是减少的，在内是增加的.3.函数f(x)=x3+a
2、x2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b0时，f(x)是()A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数【解析】选A.求得函数的导函数f(x)=3x2+2ax+b，导函数对应方程f(x)=0的=4(a2-3b)0恒成立，故f(x)是增函数.4.已知函数f(x)=x2-9ln x+3x在其定义域内的子区间(m-1，m+1)上不单调，则实数m的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.因为f=x2-9ln x+3x在其定义域(0，+)的子区间上不单调，所以函数f=x2-9ln x+3x在区间上有极值，由f=2x-+3=0，得x=或x=-3(舍去)，所以0m-1m+1，解得1
3、m0时，f(x)=x+的单调递减区间是_.【解析】f(x)=1-=.由f(x)0得0x.答案：(0，)6.已知函数f(x)=kex-1-x+x2(k为常数)，曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，则f(x)的递减区间为_.【解析】f(x)=kex-1-1+x，因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，所以f(0)=ke-1-1=0，解得k=e，故f(x)=ex+x-1.令f(x)0，解得x0，即6x2-6x0，解得x1或x0；令f(x)0，即6x2-6x0，解得0x0，即0，得0xe；令f(x)0，即e，所以f(x)的递增区间是(0，e)，递减区间是(e，+).
4、8.设函数f(x)=x3+mx2+1的导函数为f (x)，且f(1)=3.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)=x2+2mx，所以f(1)=1+2m=3，所以m=1.所以f(x)=x3+x2+1，所以f(1)=.所以切线方程为y-=3(x-1)，即9x-3y-2=0.(2)f(x)=x2+2x=x(x+2)，令f(x)0，得x0或x-2，令f(x)0，得-2x0，所以函数f(x)的递增区间为(-，-2)，(0，+)，递减区间为(-2，0).(15分钟30分)1.(5分)函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间-1，2上不单调
5、，则实数a的取值范围是()A.(-，-3B.(-3，1)C.1，+)D.(-，-31，+)【解析】选B.因为f(x)=x3-x2+ax-5，所以f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1，如果函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间-1，2上单调，那么a-10或解得a1或a-3，于是满足条件的a(-3，1).2.(5分)函数y=f(x)的图像如图所示，则y=f(x)的图像可能是()【解析】选D.由f(x)的图像知，f(x)在(-，0)上单调递增，在(0，+)上单调递减，所以在(0，+)上f (x)0，故选D.3.(5分)已知函数f(x)=-x2+3x-2ln x，则函数f(x)的递增区间为
6、_.【解析】由题可得f(x)=-x+3-=-，令f(x)0，解得1x0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，2恒成立，则实数a的取值范围是_.【解析】因为对任意两个不相等的正实数x1，x2，2恒成立，所以f(x)2恒成立，因为f(x)=+x2，所以22，即a1.故实数a的取值范围是1，+).答案：1，+)5.(10分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像经过点P(0，2)，且在点M(-1，f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求函数y=f(x)的单调区间.【解析】(1)由y=f(x)的图像经过点P(0，2)，知d=2，所以f(x)=x3
7、+bx2+cx+2，f(x)=3x2+2bx+c.由在点M(-1，f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，f(-1)=6.所以即解得b=c=-3.所以所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)f(x)=3x2-6x-3.令f(x)0，得x1+；令f(x)0，得1-x1+.所以f(x)=x3-3x2-3x+2的递增区间为(-，1-)和(1+，+)，递减区间为(1-，1+).1.(2020宜昌高二检测)已知函数g(x)的导函数g(x)=ex，且g(0)g(1)=e，其中e为自然对数的底数.若存在x0，+)，使得不等式g(x)x-m+3成立
8、，则实数m的取值范围为_.【解析】由题意设g(x)=ex+c，则g(x)=ex，g(0)=1+c，g(1)=e，所以g(0)g(1)=(1+c)e=e，解得c=0，即g(x)=ex，则g(x)x-m+3可化为ex-xF(x)min.因为F(x)=ex+ex-1=ex-1，当x0时， 2x+1x+12，ex1，即F(x)=ex-10，即函数F(x)在区间0，+)上单调递增，所以F(x)F(0)=0，所以-m+30，即m0，即a或a0，即3x2+2ax+10，解得x或x；令f(x)0，即3x2+2ax+10，解得x.故函数f(x)的递增区间是，；递减区间是.当0，即-a0，故f(x)在R上单调递增
9、.当=0，即a=时，f=0，且对所有的x-都有f(x)0，故f(x)在R上是增函数.(2)由(1)知只有当a或a0，f(x)的递增区间为(0，+)；当a0时，f(x)=，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(0，)(，+)f(x)-0+f(x)由上表可知，函数f(x)的递减区间是(0，)，递增区间是(，+).(2)由g(x)=+x2+2aln x，得g(x)=-+2x+，由已知函数g(x)在1，2上是减少的，则g(x)0在1，2上恒成立，即-+2x+0在1，2上恒成立，即a-x2在1，2上恒成立.令h(x)=-x2，则h(x)=-2x=-0，x1，2，所以h(x)在1，2上是减少的，h(x)min=h(2)=-，所以a-.故实数a的取值范围为.
