1、上海市2018-2019学年高二数学下学期期末考试复习卷（含解析）一、填空题1.分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是_。【答案】相交或异面【解析】【分析】根据异面直线的定义可知与两条异面直线相交的两条直线不可能平行，可得到位置关系.【详解】如下图所示：此时的位置关系为：相交如下图所示：此时位置关系为：异面若平行，则与四个交点，四点共面；此时共面，不符合异面直线的定义综上所述：位置关系为相交或异面本题正确结果；相交或异面【点睛】本题考查空间中直线的位置关系的判断，属于基础题.2.将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取
2、_个个体。【答案】20【解析】解：A、B、C三层，个体数之比为5：3：2又有总体中每个个体被抽到的概率相等，分层抽样应从C中抽取100=20故答案为：203.圆柱的高为1，侧面展开图中母线与对角线的夹角为60，则此圆柱侧面积是_。【答案】【解析】【分析】根据圆柱结构特征可知侧面展开图为矩形，利用正切值求得矩形的长，从而可得侧面积.【详解】圆柱侧面展开图为矩形，且矩形的宽为矩形的长为： 圆柱侧面积：本题正确结果：【点睛】本题考查圆柱侧面积的相关计算，属于基础题.4.若对任意实数，都有，则_。【答案】6【解析】【分析】将原式变为，从而可得展开式的通项，令可求得结果.详解】由题意得：则展开式通项为：
3、当，即时， 本题正确结果：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够构造出合适的形式来进行展开.5.设地球O的半径为R，P和Q是地球上两地，P在北纬45，东经20，Q在北纬，东经110，则P与Q两地的球面距离为_。【答案】【解析】【分析】首先计算出纬圈半径，再根据经度差可求得长；根据长度关系可求得球心角，进而可求得球面距离.【详解】由题意可知：纬圈半径为：两点的经度差为 即： 两地的球面距离：本题正确结果：【点睛】本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，属于基础题.6.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 【答
4、案】【解析】【分析】首先根据古典概型求解出所求事件的对立事件的概率，然后利用对立事件概率公式求得结果.【详解】记事件为：“选出的志愿者中男女生均不少于1名”则： 本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型概率求解、对立事件概率求解问题，属于基础题.7.若RtABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为_。【答案】2【解析】【分析】连接，通过证明和可知即为异面直线与之间的距离，利用勾股定理可求得结果.【详解】连接， ，又 平面，又平面 即为异面直线与之间的距离又 本题正确结果：【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，关键是能够通过垂直关
5、系找到异面直线之间的公垂线段.8.在四面体O-ABC中，设，D为BC的中点，E为AD的中点，则可以用、表示为_。【答案】【解析】【分析】连接，根据平面向量基本定理可知：，代入整理可得结果.【详解】连接为中点 为中点 本题正确结果：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题.9.用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_。【答案】40【解析】【分析】将问题分成三步解决，首先将排列，再将插空排列，再根据已排好的位置将整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】第一步：将进行排列，共有种排法第
6、二步：将插空排列，共有种排法第三步：将整体插空放入，共有种排法根据分步乘法计数原理可得共有：种排法本题正确结果：【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.10.已知向量，若向量、的夹角为钝角，则实数的取值范围是_。【答案】【解析】【分析】根据向量夹角为钝角，可知且，解不等式可求得结果.详解】由题意可知：且解得：且，即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为的情况，造成出现增根.11.把10个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数，则不同的方法共有_
7、种【答案】15【解析】【分析】将编号为的三个盒子中分别放入个小球，从而将问题转变为符合隔板法的形式，利用隔板法求解得到结果.【详解】编号为的三个盒子中分别放入个小球，则还剩个小球则问题可变为求个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数由隔板法可知共有：种方法本题正确结果：【点睛】本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.12.若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=_。【答案】5【解析】【分析】令和，作和即可得到奇数项的系数和，从而构造出方程解得结果.【详解】令得：令得：奇数项的系数和为：，解
8、得：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式系数的性质应用问题，关键是采用赋值的方式快速得到系数和.二、选择题13.若两条异面直线外的任意一点，则（）A. 过点有且仅有一条直线与都平行B. 过点有且仅有一条直线与都垂直C. 过点有且仅有一条直线与都相交D. 过点有且仅有一条直线与都异面【答案】B【解析】解：因为若点是两条异面直线外的任意一点，则过点有且仅有一条直线与都垂直，选B14.给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个
9、平面平行；其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果.【详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误；（2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误.本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题.15.考察正方体个面的中心，甲从这
10、个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线互相平行但不重合的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定甲、乙各任选两点构成直线的选法种数；再求出所选直线相互平行的选法种数；利用古典概型求得结果.【详解】正方体个面的中心连线构成正八面体，个点为其六个顶点甲、乙各任选两点构成直线，共有：种选法正八面体中互相平行的棱共有对，则甲乙所选直线相互平行共有：种选法所选两条直线互相平行但不重合的概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型的概率问题求解，涉及到空间几何体的结构特征，考查学生的空间想象能力和排列组合知识的应用.16.在发生某公
11、共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：总体均值为2，总体方差为3D. 丁地：中位数为2，众数为3【答案】C【解析】【分析】通过反例可依次排除掉选项；利用反证法求出选项中，若存在不符合标志的情况，总体方差必大于，可知假设错误，正确.【详解】选项：若天内数据为：，满足均值为，中位数为，存在超过人的情况，不符合该标志，则错误；选项：若天内数据为：，满足均值为
12、，方差大于，存在超过人的情况，不符合该标志，则错误；选项：设天内存在一天超过人，为最低的超过标志的人数：人，则必有，可知方差不可能为，可知假设错误，则必符合该标志，则正确；选项：若天内数据为：，满足中位数为，众数为，存在超过人的情况，不符合该标志，则错误.本题正确选项：【点睛】本题考查统计中利用均值、众数、中位数、方差对总体进行估计的问题，关键是能够通过反例来进行说明.三、解答题17.某小组10名学生参加的一次数学竞赛的成绩分别为：92、77、75、90、63、84、99、60、79、85，求总体平均数、中位数m、方差2和标准差；(列式并计算，结果精确到0.1)【答案】，【解析】【分析】根据平
13、均数、方差、标准差的计算公式求得结果，根据中位数的定义可排列顺序后求得.【详解】平均数名学生按成绩自低到高排列为：则中位数方差标准差【点睛】本题考查已知数据求解平均数、中位数、方差和标准差的问题，考查运算求解能力，属于基础题.18.(1)设k，且，求证：；(2)求满足的正整数n的最大值；【答案】(1)略；(2)7【解析】【分析】（1）根据组合数公式可证得左右两侧形式相同，从而可得结论；（2）将问题变为，将不等式左侧根据组合数运算性质可求得等于，从而可将不等式变为，根据为正整数求得结果.【详解】（1）当时，（2），即：又，即又为正整数 ，即正整数的最大值为：【点睛】本题考查利用组合数公式及其性质
14、进行运算或证明，考查对于公式的掌握程度，考查学生的转化能力，属于中档题.19.已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121；(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项；【答案】(1) ；(2) 或【解析】【分析】（1）由末三项二项式系数和构造方程，解方程求得结果；（2）列出展开式通项，设第项为系数最大的项，得到不等式组，从而求得的取值，代入得到结果.【详解】（1）展开式末三项的二项式系数分别为：，则：，即：，解得：（舍）或（2）由（1）知：展开式通项为：设第项即为系数最大的项，解得：系数最大的项为：或【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及到二项式系数的问题、求解二项展开式中系数最大的
15、项的问题，属于常规题型.20.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点：(1)求点D到平面A1BE的距离；(2)在棱上是否存在一点F，使得B1F平面A1BE，若存在，指明点F的位置；若不存在，请说明理由。【答案】(1)；(2) 存在点，为中点【解析】【分析】（1）根据体积桥，首先求解出，进而根据解三角形的知识可求得，从而可构造关于所求距离的方程，解方程求得结果；（2）将平面延展，与底面交于且为中点，过点可作出的平行线，交于，为中点，即为所求的点；证明时，取中点，利用中位线可证得，从而可知平面，再利用平行四边形证得，利用线面平行判定定理可证得结论.【详解】（1）连接，则
16、又， 设点D到平面A1BE的距离为则，解得：即点D到平面A1BE的距离为：（2）存在点，为中点证明如下：取中点，连接，分别为中点 又 ，则四点共面平面又四边形为平行四边形 ，又平面平面【点睛】本题考查点到平面距离的求解、补全线面平行条件的问题.求解点到平面距离通常采用体积桥的方式，将问题转化为棱锥的高的求解问题.21.如图，等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径ADBC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为。(1)求圆锥的侧面积；(2)求异面直线AB与SD所成角的大小；(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三棱锥
17、的侧棱PA与底面ABC所成角的大小。【答案】(1)；(2)；(3)【解析】【分析】（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作交圆锥底面圆于点，则即为异面直线与所成角，在中，求解出三边长，利用余弦定理可求得，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若为的中心，则即为侧棱与底面所成角，在中利用正切值求得结果.【详解】（1）设圆锥高为，母线长为由圆锥体积得： 圆锥的侧面积：（2）作交圆锥底面圆于点，连接，则即为异面直线与所成角由题意知：，又 即异面直线与所成角为：（3）平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为 又 ，即为边长为的等边三角形设为的中心，连接，则三棱锥为正三棱锥 平面即为侧棱与底面所成角 即侧棱与底面所成角为：【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.
