1、第42课数学归纳法【自主学习】第42课 数学归纳法(本课时对应学生用书第108109页)自主学习回归教材1. (选修2-2P88练习2改编)设nN*,用数学归纳法证明2+4+6+2n=n2+n时,第一步应证明:左式=.【答案】22. (选修2-2P88例4改编)设nN*,f(n)=5n+23n-1+1,通过计算n=1,2,3,4时f(n)的值,可以猜想f(n)能被数值整除.【答案】8【解析】f(1)=8=81,f(2)=32=84,f(3)=144=818,f(4)=680=885,所以猜想f(n)能被8整除.3. (选修2-2P91习题7改编)已知数列an满足a1=1,且4an+1-anan
2、+1+2an=9,则可以通过求a2,a3,a4的值猜想出an=.【答案】【解析】由题知a1=1,a2=,a3=,a4=,猜想an=.4. 由1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,可得出的一般性结论是 .【答案】n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2 (nN*)【解析】第n个式子的左边首项为n,公差为1,共2n-1项,所以左边=n+(n+1)+(n+2)+(3n-2),式子右边是(2n-1)2.5. (选修2-2P89例5改编)设n条直线把一个平面分成rn个部分,通过n=1,2,3,4画出图形观察rn可发现rk=1+1+2+3+4+k.若利用数学归纳法对此结论进
3、行证明,当n=k+1时,需证rk+1=rk+.【答案】k+1【解析】当n=k+1时,第k+1条直线与前面的k条直线都相交,产生k个交点,这k个交点把这条直线分成了k+1段,且每一段将原有的平面分成两个部分,即增加了k+1个部分.1. 归纳法:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.2. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:(1)证明当n取第一个正整数n0时命题成立;(2)假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.完成这两步可断定从正整数n0开始的所有命题都成立.【要点导学】要点导学各个击破利用数学归纳法证明等式例1是否存在常数a,b使等式+=对于一
4、切nN*都成立?若不存在,请说明理由;若存在,请用数学归纳法证明.【思维引导】先从特殊情形n=1,n=2时等式必须成立,求出a,b的值,然后用数学归纳法的角度加以证明,在这里必须指出的是:若题目没有讲要用数学归纳法证明,我们也应从数学归纳法考虑,因为等式的左边我们无法通过数列求和的知识解决,其次本题是与自然数有关的命题证明,我们应优先考虑数学归纳法,证明时必须严格遵循数学归纳法的证明步骤,做到规范化.【解答】若存在常数a,b使等式成立,将n=1,n=2代入等式,有解得a=1,b=4,即有 +=对于一切nN*都成立. 下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边=,右边=,所以等式成立.(2)假
5、设当n=k(k1且kN*)时等式成立,即+=,当n=k+1时,+=+=,所以当n=k+1时,等式也成立.综上所述,等式对任意的nN*都成立.【精要点评】用数学归纳法证明一些等式时,关键在于先看“项”,弄清等式两边构成的规律,等式两边各有多少项,项的多少与n的关系,由n=k到n=k+1时等式两边会增加多少项.利用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明不等式1+2(nN*).【解答】(1)当n=1时,左边=1,右边=2,所以当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k2,kN*)时不等式成立,即1+2,那么当n=k+1时,左边=1+2+,因为4k2+4k4k2+4k+1,可得22k+1,即2+=
6、(nN*).【解答】(1)当n=1时,1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN*)时不等式成立,即1+,则当n=k+1时,1+=1+=+=,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,1+(nN*).利用数学归纳法证明整除问题例3已知f(n)=(2n+7)3n+9,问:是否存在自然数m,使得对任意的正整数n,都能使m整除f(n)?如果存在,求出最大的m的值,并证明你的结论;如果不存在,请说明理由.【解答】当n=1时,f(1)=36;当n=2时,f(2)=108;当n=3时,f(3)=360.猜想:存在最大整数m=36能整除f(n).证明:当n=1时,由以上知结论成立.假设当n=k
7、(k1,kN*)时,结论成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,那么当n=k+1时,f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1),由归纳假设知(2k+7)3k+9能被36整除,又18(3k-1-1)能被36整除,所以当n=k+1时,结论也成立.故由可知对任意的正整数n,结论都成立.变式用数学归纳法证明:42n+1+3n+2能被13整除,其中nN*.【解答】 (1)当n=1时,421+1+31+2=91,显然91能被13整除.(2)假设当n=k(k1,kN*)时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,42(k+1)+1+3k+
8、3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2),因为42k+113能被13整除,所以当n=k+1,结论也成立.综上,42n+1+3n+2(nN*)能被13整除.归纳猜想证明例4(2014广东卷)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式.【思维引导】(1)利用n=1,2,3可求出a1,a2,a3的值;(2)利用(1)中的结论归纳出数列an的通项公式,并以此归纳出Sn的表达式,然后利用数学归纳法证明数列an的通项公式的正确性.【解答】(1)
9、由Sn=2nan+1-3n2-4n得Sn=2n(Sn+1-Sn)-3n2-4n,整理得2nSn+1=(2n+1)Sn+3n2+4n,因此有4S3=5S2+20,即415=5S2+20,解得S2=8.同理有2S2=3S1+7,即28=3S1+7,解得S1=3,所以a1=S1=3,a2=S2-S1=8-3=5,a3=S3-S2=15-8=7.(2)由题意得an+1=+2,由(1)知a1=3,a2=5,a3=7,猜想an=2n+1,假设当n=k (kN*)时,猜想成立,即ak=2k+1,则有Sk=k(k+2),则当n=k+1时,有ak+1=+2=+2=2k+3=2(k+1)+1,这说明当n=k+1时
10、,猜想也成立.根据(1)和(2)可知,对任意的nN*,an=2n+1.【精要点评】(1)本试题主要是考查数列的通项公式的求解和数学归纳法证明的运用.(2)数学归纳法与数列相结合是命题的一种趋势.(3)主要考查从特殊到一般的推理方式.变式设f(n)=-n,其中n为正整数.(1)求f(1),f(2),f(3)的值;(2)猜想满足不等式f(n)0的正整数n的取值范围,并用数学归纳法证明你的猜想.【解答】(1)f(1)=1,f(2)=,f(3)=-.(2)猜想:当n3时,f(n)=-n0.证明:当n=3时,f(3)=-0成立.假设当n=k(k3,kN*)时猜想成立,即f(k)=-k0,所以k,则当n=
11、k+1时,由于=k=k+k+1,所以k+1,即f(k+1)=-(k+1)0成立,由可知,对n3,f(n)=-n0成立.1. 用数学归纳法证明:1-+-+-=+时,第一步应验证:左式是,右式是.【答案】1-2. (2015哈尔滨模拟)用数学归纳法证明不等式“1+时,f(2k+1)比f(2k)多项.5若f(n)=+(nN*),则f(n+1)-f(n)=.6若凸n边形的内角和为f(n),则凸n+1边形的内角和f(n+1)=f(n)+.7已知,那么由此猜想出的第n个数为.8已知x(0,+),不等式x+2,x+3,x+4,可推广为x+n+1,那么实数a的值为.二、 解答题 9用数学归纳法证明(3n+1)
12、7n-1(nN*)能被9整除.10求证:1+(nN*).11(2015宿迁一模)已知数列an的各项均为正整数,对于任意的nN*,都有2+0),数列an满足a1=f(x),an+1=f(an).(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法予以证明.【检测与评估答案】第42课数学归纳法1 42 1+【解析】当n=1时,式子的末项应为.3 4k+2【解析】当n=k时,等号左边的代数式为(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+1时,等号左边的代数式为(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+k-1(k+1)+k(k+1)+k+1,所以左边需要增添的代数式是=4k+24 2
13、k5 -【解析】+-=-.6 180【解析】凸n边形每增加一条边,内角和增加180.7 【解析】观察根式的规律,根号下和式的第一项与第二项的分子相同,而分母可表示为13,24,35,46,故第n个数为.8 nn【解析】因为x+1+1,x+2+1,x+3+1,所以该系列不等式可推广为x+n+1,所以a=nn.9 当n=1时,47-1=27,能被9整除.假设当n=k(k1,kN*)时,(3k+1)7k-1能被9整除,那么当n=k+1时,3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)+3(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)
14、7k.因为以上三式均能被9整除,所以当n=k+1时命题也成立.由可知,原命题对一切nN*均成立.10 当n=1时,不等式显然成立.假设当n=k(k1,kN*)时不等式成立,即1+,则当n=k+1时,1+=,故当n=k+1时,不等式也成立.由可知,1+(nN*).11 (1)当n=1时,由2+22+,即有2+2+,解得a1.因为a1为正整数,所以a1=1当n=2时,由2+62+,解得8a310因为a3是正整数,所以a3=9(2)由a1=1,a2=4,a3=9,猜想:an=n2下面用数学归纳法证明:当n=1,2,3时,由(1)知an=n2均成立.假设n=k(k3,kN*)成立,则ak=k2由条件得2+k(k+1)2+,所以ak+1,所以(k+1)2-ak+1(k+1)2+.因为k3,01,01,又ak+1N*,所以ak+1=(k+1)2,即当n=k+1时,an=n2也成立.综上所述,对任意的nN*,an=n2.12 (1)由题意得a1=f(x)=,a2=f(a1)=,a3=f(a2)=,a4=f(a3)= .(2)猜想:an=(nN*).证明:当n=1时,a1=f(x)=,结论成立.假设当n=k(k1,kN*)时,结论成立,即ak=,那么当n=k+1时,ak+1=f(ak)=,即当n=k+1时,结论成立.由可知,an= .