1、河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练6月1日第3天数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，集合，且，若集合，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出实数a的取值范围【详解】集合A=x|x|3=x|3x3，B=x|y=lg（ax），且xN=x|xa，xN，若集合AB=0，1，2，则实数a的取值范围是2a3故选：C【点睛】本题考查了集合交运算问题，考查了不等式的解法，属于基础题2. 已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复
2、数，则下面说法正确的是（ ）A.在复平面内对应的点落在第四象限 B. C. 的虚部为1 D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则可得复数=2i2，再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出【详解】复数=+3i1=i1+3i1=2i2，则z在复平面内对应的点（2，2）落在第二象限，=22i，=1+i其虚部为1，=因此只有C正确故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用双曲线方程求
3、出实轴与虚轴长，列出方程求解即可【详解】双曲线=1（m0）的虚轴长是实轴长的2倍，可得=，解得m=2，则双曲线的标准方程是：=1故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题4. 据统计一次性饮酒4.8两诱发脑血管病的概率为0.04，一次性饮酒7.2两诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别计算出该公司职员在一次性饮酒4.8两和7.2两时未诱发脑血管病，将事件“某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4
4、两不诱发脑血管病”表示为：该公司职员在一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病的前提下，一次性饮酒7.2两也不诱发脑血管病，然后利用条件概率公式计算出该事件的概率【详解】记事件A：某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，记事件B：某公司职员一次性饮酒7.2两未诱发脑血管病，则事件B|A：某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，继续饮酒2.4两不诱发脑血管病，则BA，AB=AB=B，P（A）=10.04=0.96，P（B）=10.16=0.84，因此，P（B|A）=，故选：A【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A) ,求P
5、(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).5. 某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出三视图对应的几何体的直观图，利用三视图的数据求解最长侧棱与底面所成角的正切值即可【详解】由题意可知三视图对应的几何体的直观图如图：几何体是四棱锥，是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，显然，最长的棱是：SC，AC=，则最长侧棱与底面所成角的正切值为：=故选：A【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深
6、刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.6. 已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A. 数列的前项和为 B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列 D. 数列是递增数列【答案】C【解析】【分析】方法一：根据数列的递推公式可得是以5为首项，以5为等差的等差数列，可得Sn=，an=，即可判断，方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2+a2=0，可得a2=，故D错误，【详
7、解】方法一：an+5Sn1Sn=0，SnSn1+5Sn1Sn=0，Sn0，=5，a1=，=5，是以5为首项，以5为等差的等差数列，=5+5（n1）=5n，Sn=，当n=1时，a1=，当n2时，an=SnSn1=，an=，故只有C正确，方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2+a2=0，可得a2=，故D错误，故选：C【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.7. 古代著名数学典籍九章算术在“商功”篇章中有这样的描述：
8、“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭”指的是正圆台体形建筑物.算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以36.”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为6，下底面周长为12，高为3，则它的体积为（ ）A. 32 B. 29 C. 27 D. 21【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量V的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】由题意可得：a=6，b=12，h=3，可得：A=3（66+1212+612）=756，V=21故程序输出V的值为21故选：D【点
9、睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 若为区域内任意一点，则的最大值为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论【详解】不是的可行域如图：A（2，0），
10、B（2，4），C（0，2），z=（2+1）x+2y62=2（x+y6）+x当z=0时，表示恒过（0，6）点的直线，z=（2+1）x+2y62的几何意义是经过（z，6）的直线系，最优解一定在A、B、C之间代入A、B、C坐标，可得z的值分别为：zA=822，zB=2，zC=82，所以z的最大值为2：故选：A【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.
11、已知实数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】a是函数y=2x与y=logx的交点的横坐标，b是函数y=（）x与y=log2x的交点的横坐标，c是y=（）x与y=的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y=2x，y=logx，y=（）x，y=log2x，y=的图象，结合图象，能求出结果【详解】实数a，b，c，2a=log2a，a是函数y=2x与y=logx的交点的横坐标，b是函数y=（）x与y=log2x的交点的横坐标，c是y=（）x与y=的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y=2x，y=logx，y=（）x，y=log2x，y=的图象，结合图象，
12、得：bac故选：C【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数、幂函数的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，属于基础题10. 将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增C. 函数在区间上的最小值为 D. 是函数的一条对称轴【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确【详解】将函数g（x）=2cos2（x+）1=cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，可得y
13、=cos（2x+）=cos（2x）的图象；再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数f（x）=2cos（2x）的图象显然，f（x）的最小正周期为=，故A错误在区间上，2x，函数g（x）没有单调性，故B错误在区间上，2x，故当2x=时，函数f（x）取得最小值为，故C正确当x=时，f（x）=2cos（2x）=0，不是最值，故x=不是函数f（x）的一条对称轴，故D错误，故选：C【点睛】由ysin x的图象，利用图象变换作函数yAsin(x)(A0，0)(xR)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变
14、换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位11. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的导数，求出x0时函数的单调性，求出过原点的切线方程，推出k的范围即可【详解】x0时，f（x）=ex3x，可得f（x）=ex3，当x=ln3时，函数取得极小值也是最小值：33ln30，关于x的方程f（x）kx=0有4个不同的实数解，就是函数y=f（x）与y=kx的图象有4个交点，画出函数的图象如图：可知y=kx与y=f（x）有4个交点，y=kx的图象必须在l1与l2之间l1的斜率小于0，l2的斜率大于0，所以排除选项A，C，D
15、故选：B【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12. 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据抛物线的性质和四边形AA1CF的面积为，求出p的值，再设M，N
16、的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my1，并代入到y2=4x中，运用韦达定理，可得m和，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出MN的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围【详解】过B作BB1l于B1，设直线AB与l交点为D，由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，设BD=m，BF=n，则=，即=，m=2n又=，=，n=，DF=m+n=2p，ADA1=30，又AA1=3n=2p，CF=p，A1D=2p，CD=p，A1C=p，直角梯形AA1CF的面积为（2p+p）p=6，解得p=2，y2=4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），=，y1=y2
17、，设直线l：x=my1代入到y2=4x中得y24my+4=0，y1+y2=4m，y1y2=4，x1+x2=m（y1+y2）2=4m22，由可得4m2=+2，由12可得y=+2递增，即有4m2（4，即m2（1，又MN中点（2m21，2m），直线MN的垂直平分线的方程为y2m=m（x2m2+1），令y=0，可得x0=2m2+1（3，故选：A【点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛
18、物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在直角梯形中，则向量在向量上的投影为_.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积投影的定义及坐标运算即可得到结果.【详解】如图建立平面直角坐标系，易得：向量在向量上的投影为【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解
19、未知数.14. 二项式的展开式的常数项为_.【答案】【解析】【分析】利用二项式定理把展开，可得二项式的展开式的常数项【详解】二项式=（x4+1）（7+2135+3521+71），故它的展开式的常数项为211=22，故答案为：22【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 已知数列满足，且对任意的，都有，若数列满足，则数列的前项和的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由任意的m，nN*，都
20、有=an，令m=1，可得，可得an=3n，求解bn=2n+1，数列的通项cn=，利用裂项相消求解Tn，即可求解取值范围【详解】由题意m，nN*，都有=an，令m=1，可得：，可得an=3n，bn=log3（an）2+1，bn=2n+1，那么数列的通项cn=那么：Tn=c1+c2+cn=（+）=，当n=1时，可得T1=，故得Tn的取值范围为，），故答案为：，）【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果
21、错误.16. 已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若为边的中点，分别为上的动点（不包括端点），且，设，则三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为_. 【答案】【解析】【分析】先根据条件得到BO平面ACD；进而求出三棱锥NAMC的体积的表达式，即可求出结论【详解】因为正方形ABCD的边长为2，所以：AC=4又平面ABC平面ACD，O为AC边的中点BOAC；所以BO平面ACD 三棱锥NAMC的体积y=f（x）=SAMCNO=ACCMsinACMNO=4x（2x）=（x2+2x）=（x1）2+当x=1即时，三棱锥的体积取得最大值设内切球半径为r此时解得r=故
22、答案为：【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知在中，所对的边分别为，.（1）求的大小； （2）若，求的值.【答案】（1）或（2）1【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理结合诱导公式，和与差，二倍角化简，可得B的大小（2）根据sinAsinC=sin2B，利用正弦定
23、理，结合（1）中B的值，即可求解的值【详解】解：（1）,，即，又，或（2），又由余弦定理得，当时，则，当时，则，此方程无解.综上所述，当且仅当时，可得.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 如图，三棱柱中，四边形为菱形，平面平面，在线段上移动，为棱的中点.（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；（2）若二
24、面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取BB1中点E，连接AE，EH，推导出EHB1Q，AEPB1，从而平面EHA平面B1QP，由此能证明AD平面B1PQ（2）连接PC1，AC1，推导出AA1=AC=A1C1=4，AC1A1为正三角形，推导出PC1AA1，从而PC1平面ABB1A1，建立空间直角坐标系Pxyz，利用向量法能求出点P到平面BQB1的距离【详解】解：（1）证明：如图，取中点，连接为中点，在平行四边形中，分别为的中点，又，平面平面平面，平面.（2）连接，四边形为菱形，又，为正三角形为的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，在平面内过
25、点作交于点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设， ， 设平面的法向量为，则得，令，则，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，二面角的平面角为，则或（舍），.又，连接，设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见，卫生部对
26、16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，所有大学食堂的评分在710分之间，以下表格记录了它们的评分情况：（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用概率的求和公式，计算所求的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计
27、算数学期望值【详解】解：（1）设表示所抽取3个中有所大学食堂评分不低于9分，至多有1个评分不低于9分记为事件，则.（2）由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为，由题知的可能取值为0，1，2，3，的分布列为.【点睛】求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20. 椭圆的左、右焦点为，离心率为，已知过轴上一点作一条直线：，交椭圆于两点，且的周长最大值为8.（1）求椭圆方程；（2）以点为圆心，半径为的
28、圆的方程为.过的中点作圆的切线，为切点，连接，证明：当取最大值时，点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的周长的最大值结合椭圆的定义，求出a，利用离心率求解c，然后求出b，即可得到椭圆方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理，结合0得m24k2+2，求出C的坐标，求出|NC|，|NE|，利用函数的导数求出最大值，推出m的范围【详解】解：（1）由题意得，所求椭圆方程为.（2）设，联立得，由得（*），且，以点为圆心，为半径的圆的方程为，整理得， 令，令，则，在上单调递增，当且仅当时等号成立，此时取得最大值，且，且，点
29、在短轴上（不包括短轴端点及原点）.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21. 已知函数.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，恒成
30、立，求实数的取值范围；（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） (3) 【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即得在上恒成立，参变分离得，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围.试题解析：解：（1）由，得. 由题意，所以.（2）.因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立. 问题等价于函数，即在上为增函数，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即实
31、数的取值范围是.（3）不等式等价于，整理得.构造函数，由题意知，在上存在一点，使得.因为，所以，令，得.当，即时，在上单调递增.只需，解得.当即时，在处取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化为.因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.当，即时，在上单调递减，只需，解得.综上所述，实数的取值范围是.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线：与：相交于两点，且.（1）求的值；（2）直线与曲线相交于两点，证明：（为圆心）为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1
32、) 由题意可得直线和圆的直角坐标方程，借助圆的几何性质可得的值；(2) 直线的参数方程为（为参数），代入曲线的方程得，借助韦达定理可证明（为圆心）为定值.【详解】（1）由题意可得直线和圆的直角坐标方程分别为，直线过圆的圆心，.（2）证明：曲线的普通方程为，直线的参数方程为（为参数），代入曲线的方程得，恒成立，设两点对应的参数分别为，则，为定值8.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为 (t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）可化为，利用零点分段法可得解（）易知；所以，又在恒成立；在恒成立；在恒成立；采用变量分离可求出实数的取值范围试题解析：（）可化为，即，或，或，解得，或，或；不等式的解集为（）易知；所以，又在恒成立；在恒成立；在恒成立； 点睛：本题考查了利用零点分段法解含绝对值的不等式，考查了利用变量分离解决不等式恒成立问题，注意计算的准确性，属于中档题.
