1、3.1.3两角和与差的正切学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.两角和与差的正切公式T()：tan().T()：tan().思考：公式T有何结构特征和符号规律？提示(1)结构特征：公式T()的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同，分母反1tan 15_；tan 75_.22tan
2、 15tan(4530)2.tan 752.2设，为锐角，且tan ，tan 是方程6x25x10的根，则tan()_.1tan tan ，tan tan .tan()1.3._.原式tan(4515)tan 30.条件求值问题【例1】已知tan()5，tan()3，求tan 2，tan 2，tan.思路点拨：2()()，2()()，tan可以用tan 2表示出来解tan 2tan()()，tan 2tan()()，tan.求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.1已知tan()，tan，求tan.解
3、tantan.给值求角【例2】已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，求.思路点拨：利用根与系数的关系求tan tan 及tan tan 的值，进而求出tan()的值，然后由的取值范围确定的值解因为tan ，tan 是方程x23x40的两根，所以tan tan 30，tan tan 40，所以tan 0，tan 0.又因为，所以，所以0.又因为tan()，所以.1给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角2选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是，选正
4、、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好2已知tan()，tan ，且，(0，)，则2_.由于tan tan()，所以，又tan(2)tan()1，而，所以2(，0)，故2.T()公式的变形及应用探究问题1你能结合T()的公式完成下列空格吗？(1)T()的变形：tan tan _.tan tan tan tan tan()_.tan tan _.(2)T()的变形：tan tan _.tan tan tan tan tan()_.tan tan _.提示：(1)tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan tan()tan()ta
5、n tan 1(2)tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan tan()tan()tan tan 12结合T()公式想一想下列式子如何化简？(1)_；(2)_.提示：(1)tan(2)tan【例3】已知ABC中，tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan Btan Atan B1，试判断ABC的形状思路点拨：充分结合T()的公式及变形求解解tan A tan Btan Atan B1，(tan Atan B)tan Atan B1，tan(AB).又0AB，AB，C，tan Btan Ctan Btan C，tan C，tan Btan
6、B，tan B，B，A，ABC为等腰三角形1公式T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者知二可表示或求出第三个2一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式3(1)化简：tan 23tan 37tan 23tan 37；(2)若锐角，满足(1tan )(1tan )4，求的值解(1)tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23ta
7、n 37)tan 23tan 37.(2)(1tan )(1tan )1(tan tan )3tan tan 4，tan tan (1tan tan )，tan().又，均为锐角，0180，60.教师独具1本节课的重点是两角和与差的正切公式，难点是公式的灵活运用2要掌握两角和与差的正切公式的三个应用(1)解决给角求值问题(2)解决给值(式)求角问题(3)解决条件求值问题3本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误1.()Atan 57Btan 57C1 D1C原式tan(516)tan 451.2若tan ，tan()1，则tan _.tan tan().3不查表求值：tan 15tan 30tan 15tan 30_.1tan 15tan 30tan 15tan 30tan(1530)(1tan 15tan 30)tan 15tan 30tan 45(1tan 15tan 30)tan 15tan 301tan 15tan 30tan 15tan 301.4已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.证明ABC，ABC.tan(AB)tan C.tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.
