1、章末综合测评(一)导数及其应用(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是()A(cos x)sin xBcos CDDA错误，(cos x)sin x；B错误；0；C错误；D正确2如果物体的运动方程为s2t(t1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是()A米/秒B米/秒C米/秒D米/秒Ass(t)2t，s(t)2.故物体在2秒末的瞬时速度s(2)2.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2Ay，ky|2，切线方程
2、为：y12(x1)，即y2x1.4若函数f (x)x3f (1)x2x，则f (1)的值为()A0B2C1D1Af (x)x3f (1)x2x，f (x)x22f (1)x1，f (1)12f (1)1，f (1)0.5函数f (x)xex的一个单调递增区间是()A1,0B2,8C1,2D0,2Af (x)xex，则f (x)，令f (x)0，得x1，故增区间为(，1)，又因为1,0(，1)，故选A.6函数f (x)exsin x在区间上的值域为()A0，eB(0，e)C0，e)D(0，eAf (x)ex(sin xcos x)x，f (x)0.f (x)在上是单调增函数，f (x)minf
3、(0)0，f (x)maxf e.7一物体以速度v3t22t(单位：m/s)做直线运动，则它在t0 s到t3 s时间段内的位移是()A31 mB36 mC38 mD40 mBS(3t22t)dt(t3t2)|333236(m)8函数f (x)x33x23xa的极值点的个数是()A2B1C0D由a确定Cf (x)3x26x33(x22x1)3(x1)20，函数f (x)在R上单调递增，无极值故选C.9已知f (x)ax3bx2x(a、bR且ab0)的图象如图所示，若|x1|x2|，则有()Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0Bf (x)3ax22bx1有两个零点x1，x2，且|x1|
4、x2|，由图可知x1x20，且x1是极小值点，a0，b0.10若x2是函数f (x)(x2ax1)ex1的极值点，则f (x)的极小值为()A1B2e3C5e3D1Af (x)x2(a2)xa1ex1，则f (2)42(a2)a1e30a1，则f (x)(x2x1)ex1，f (x)(x2x2)ex1，令f (x)0，得x2或x1，当x2或x1时，f (x)0，当2x1时，f (x)0，则f (x)极小值为f (1)1.11设函数f (x)xln x(x0)，则yf (x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点
5、，在区间(1，e)内有零点Df (x)，令f (x)0，得x3，当0x3时，f (x)0，所以函数f (x)在区间(0,3)上为减函数又f (1)0，f (e)10，f 10，所以yf (x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点12设函数f (x)是奇函数f (x)(xR)的导函数，f (1)0，当x0时，xf (x)f (x)0，则使得f (x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A当x0时，令F(x)，则F(x)0，当x0时，F(x)为减函数f (x)为奇函数，且由f (1)0，得f (1)0，故F(1)0.在区间(
6、0,1)上，F(x)0；在(1，)上，F(x)0.即当0x1时，f (x)0；当x1时，f (x)0.又f (x)为奇函数，当x(，1)时，f (x)0；当x(1,0)时，f (x)0.综上可知，f (x)0的解集为(，1)(0,1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13 (3xsin x)dx_.1 (3xsin x)dx(0cos 0)1.14若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_(ln 2,2)设P(x0，y0)，yex，yex，点P处的切线斜率为ke2，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点P的坐标为(ln 2
7、,2)15直线ya与函数f (x)x33x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是_(2,2)令f (x)3x230，得x1，可求得f (x)的极大值为f (1)2，极小值为f (1)2，如图所示，2a2时，恰有三个不同公共点16将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_设ADx(0x1)，则DEADx，梯形的周长为x2(1x)13x.又SADEx2，梯形的面积为x2，s(0x1)，则s.令s0，解得x.当x时，s0，s为增函数故当x时，s取得极小值，也是最小值，此时s的最小值为.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说
8、明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数yf (x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)，求函数yxf (x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积解根据题意，得到f (x)，从而得到yxf (x)所以围成的面积为S2x2dx (2x22x)dx.18(本小题满分12分)设函数f (x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.已知f (x)在x3处取得极值(1)求f (x)的解析式；(2)求f (x)在点A(1,16)处的切线方程解(1)f (x)6x26(a1)x6a.f (x)在x3处取得极值，f (3)696(a1)36a0，解得a3.f (x)2x3
9、12x218x8.(2)A点在f (x)上，由(1)可知f (x)6x224x18，f (1)624180，切线方程为y16.19(本小题满分12分)已知函数f (x)(x2)exa(x1)2.讨论f (x)的单调性解f (x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)(1)设a0，则当x(，1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0.所以f (x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)设a0，由f (x)0得x1或xln(2a)若a，则f (x)(x1)(exe)，所以f (x)在(，)上单调递增若a，则ln(2a)1，故当x(，ln(2a)(1，)时，f (x)0；当x
10、(ln(2a)，1)时，f (x)0.所以f (x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减若a，则ln(2a)1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f (x)0；当x(1，ln(2a)时，f (x)0.所以f (x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在(1，ln(2a)上单调递减20(本小题满分12分)设函数f (x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对任意的x0,3，都有f (x)0；当x1,2时，f (x)0.所以当x1时，f (x)取得极大值f (1)58c，当x2时，f (x)取得极小值f (2)48c
11、，又f (0)8c，f (3)98c.所以当x0,3时，f (x)的最大值为f (3)98c.因为对于任意的x0,3，有f (x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.故c的取值范围为(，1)(9，)21(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为
12、蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大22(本小题满分12分)已知函数f(x)x(1ln x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln aa ln bab，证明：2e.解：
13、(1)因为f(x)x(1ln x)，所以f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ln xxln x.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)由题意，a，b是两个不相等的正数，且bln aaln bab，两边同时除以ab，得，即，即ff .令x1，x2，由(1)知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且当0xe时，f(x)0，当xe时，f(x)0，不妨设x1x2，则0x11x2e.要证2e，即证2x1x2e.先证x1x22：要证x1x22，即证x22x1，因为0x11x2e，所以x22x11，又f(
14、x)在(1，)上单调递减，所以即证f(x2)f(2x1)，又f(x1)f(x2)，所以即证f(x1)f(2x1)，即证当x(0,1)时，f(x)f(2x)0.构造函数F(x)f(x)f(2x)，则F(x)f(x)f(2x)ln xln(2x)lnx(2x)，当0x1时，x(2x)1，则lnx(2x)0，即当0x1时，F(x)0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以当0x1时，F(x)F(1)0，所以当0x1时，f(x)f(2x)0成立，所以x1x22成立再证x1x2e：由(1)知，f(x)的极大值点为x1，f(x)的极大值为f(1)1，过点(0,0)，(1,1)的直线方程为yx，设f(x1)f(x2)m，当x(0,1)时，f(x)x(1ln x)x，直线yx与直线ym的交点坐标为(m，m)，则x1m.欲证x1x2e，即证x1x2mx2f(x2)x2e，即证当1xe时，f(x)xe.构造函数h(x)f(x)x，则h(x)1ln x，当1xe时，h(x)0，所以函数h(x)在(1，e)上单调递增，所以当1xe时，h(x)h(e)f(e)ee，即f(x)xe成立，所以x1x2e成立综上可知，2e成立
