1、世界上工程师建造了很多美妙绝伦的建筑，其中很多工程师打破了对称美的传统形式，利用不等关系与不对称美的思想设计了无数的经典之作不等关系是客观世界中广泛存在的一个基本关系，各种类型的不等式在现代数学的各个分支及其应用中起着十分重要的作用本章，我们将学习不等关系的一些基本规律和一些相关的数学模型，例如：基本不等式，线性规划等，并利用它们解决一些简单的实际问题知识线索：本章的主要内容有不等关系、一元二次不等式、基本不等式、线性规划及其简单应用等基础知识不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域、值域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大
2、值、最小值问题，无一不与不等式有着密切联系能够运用不等式的性质，定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布的问题，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学问题.1不等关系Q 购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m(含1.1 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？X 1在数学意义上，不等关系体现的几个方面(1)常量与常量之间的不等关系；(2)变量与常量之间的不等关系；(3)函
3、数与函数之间的不等关系；(4)一组变量之间的不等关系2两数(式)大小比较的常用方法作差比较法作商比较法乘方比较法依据ab0abab0a0，b0且1ab；a0，b0且1ab2且a0，b0ab应用范围若数(式)的符号不明显，作差后可化为积或商的形式同号两数比较大小或指数式之间比较大小要比较的两数(式)中有根号步骤作差变形判断符号下结论作商变形判断商值与1的大小下结论乘方用作差比较法或作商比较法3.常用的不等式的基本性质：(1)如果ab，cd，则acbd；(2)如果ab0，cd0，则acbd；(3)如果ab0，则anbn(nN)；(4)如果ab0，则(nN)4一个重要结论一般地，设a，b为正实数，且
4、a0，则.Y 1设ba，dbdBacbdCacbdDadbc解析ba，dc，bda3Ba2a3Ca2a3D不能确定，与a的值有关解析a2a3a2(1a)，当a0或a1时a2a3，当aa3，当0aa3，当a1时，a3a2故选D3设xa0，则下列各不等式一定成立的是(B)Ax2axaxa2Cx2a2a2ax解析x2axa2.故选B4若a、b是任意实数，且ab，则(D)Aa2b2B0Dab并不保证a、b均为正数，从而不能保证A、B成立又abab0，但不能保证ab1，从而不能保证C成立，显然只有D成立事实上，指数函数yx在xR上是减函数，所以abab成立故选D5设1a7,1b2，则的取值范围是(，7)
5、.解析由1b2得1，又1a7，bc2，则ab；若ababb2；若cab0；则；若ab，则a0，bbc2知c0，所以c20，所以ab，故该命题是真命题a2ab，abb2，所以a2abb2.故该命题为真命题ababcaa，所以ca0.所以0ca0.又因为ab0，所以.故该命题为真命题abab0，00.因为ab0，所以ba0.所以abb，所以a0，b0，故该命题为真命题综上可知，命题、都是真命题故选C规律总结通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定跟踪
6、练习2判断下列各题的对错(1)0ab()(2)ab且cdacbd()(3)ab0且cd0()(4)ab()解析(1)，当 a0时，此式成立，推不出ab，(1)错；(2)当a3，b1，c2，d3时，命题显然不成立，(2)错；(3)0成立(3)对；(4)显然c20，两边同乘以c2，得ab.(4)对命题方向3运用作差法比较大小例题3已知xR，比较(x1)(x21)与(x)(x2x1)的大小分析直接作差需要将(x1)(x21)与(x)(x2x1)展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差解析(x1)(x21)(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x1)，(x)(x2x1)
7、(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x2x1)，(x1)(x21)(x)(x2x1)(x2x1)x(x1)0.则有xR时，(x1)(x21)(x)(x2x1)恒成立规律总结1.有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，化简到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形，再作差2变形的方法跟踪练习3已知x1，比较x31与2x22x的大小解析x31(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1)2x1，x10，(x1)20，x310，b0且ab，试比较aabb与abba的大小分析根据同底数幂的运算法则
8、，可考虑作商比较法解析aabbba()ab，当ab0时，1，ab0，则()ab1，于是aabbabba.当ba0时，01，ab1，于是aabbabba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabbabba.跟踪练习4比较1816与1618的大小解析()16()16()16()16.(0,1)，()160，1816b0，cd0，求证：bd.又c0，d，bcad，证明：ab0.证明因为所以所以所以ab0.命题方向6应用不等式的性质讨论范围例题6设f(x)ax2bx且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围分析1.在研究范围问题时，一定要看清变量间有无内在联系，要确定准独立变量，以免产生错
9、误2在求解某些有关联的未知数范围时，因多次使用不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)而导致所给变量的范围改变，出现错误，因此要尽可能少地运用不等式的可加性求范围解析解法一：(待定系数法)：设f(2)4a2bm(ab)n(ab)，所以解得所以f(2)3(ab)(ab)又因为1ab2，所以33(ab)6.因为2ab4.所以53(ab)(ab)10.即5f(2)10.解法二：设即a，b.所以f(2)4a2b2(xy)(yx)3xy，而1xab2,2yab4，所以5f(2)10.规律总结利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向(异向)不等式的两边可以相
10、加(相减)”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过一次性不等关系的运算，求得待求的范围，这是避免犯错的一条途径跟踪练习6已知，求，的取值范围解析，将两式相加得，.，.又，0，故1时，x10，0，即1x.当x1时，x10，0，即1x.辨析作差比较大小，变形后的结果难以确定时，一般要分类讨论，但必须要有统一的分类标准，这里分类不完全，在x0，不应有0，最好把x0分一类进行讨论，这样比较恰当正解(1x)，x20.当x0时，0，1x.当1x0，即x1时，0，0且x0，即1x0时，0，1x.B 不等关系
