1、解直角三角形 一、选择题 1（2018山东淄博4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米在用科学计算器求坡角 的度数时，具体按键顺序是（）A B C D【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题；T6：计算器三角函数【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角 【解答】解：sinA=0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A 【点评】本题考查了计算器三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键 2 （2018 年湖北省宜昌市 3 分）如图，要测
2、量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米，PCA=35，则小河宽 PA 等于（）A100sin35米 B100sin55米 C100tan35米 D100tan55米【分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度【解答】解：PAPB，PC=100 米，PCA=35，小河宽 PA=PCtanPCA=100tan35米 故选：C【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到
3、数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案 3.(2018 四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A.4.64 海里 B.5.49 海里 C.6.12 海里 D.6.21 海里【答案】B 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作 BDAC，取 BE=CE，AC=30，CAB=30ACB=15，ABC=1
4、35，又BE=CE，ACB=EBC=15，ABE=120，又CAB=30 BA=BE，AD=DE，设 BD=x，在 RtABD 中，AD=DE=x，AB=BE=CE=2x，AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，x=5.49，故答案为：B.【分析】根据题意画出图如图所示：作 BDAC，取 BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出 BA=BE，AD=DE，设 BD=x，RtABD 中，根据勾股定理得 AD=DE=x，AB=BE=CE=2x，由 AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.二.填空题 1.（2018重庆(A)4 分）如图，把三角形纸片折叠，使点 B、
5、点C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE，FG，得到30AGE，若2 3AEEG厘米，则 ABC 的边 BC 的长为 厘米。【考点】解直角三角形、勾股定理【解析】过 E 作EHAG 于 H。2 3,30.322cos302 2 36.2 AEEGAGEGAAHAE 由翻折得2 3,6.BEAEGCGA 64 3.BCBEEGGC【点评】本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等 2.（2018湖北黄石3 分）如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60、45，如果无人机距地面高度 CD 为米，点 A、D、E 在同一水平直线上，则 A、B 两点间的
6、距离是 100（1+）米（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得A=60，B=45，在 RtACD 中利用正切定义可计算出 AD=100，在 RtBCD 中利用等腰直角三角形的性质得 BD=CD=100，然后计算 AD+BD 即可【解答】解：如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60、45，A=60，B=45，在 RtACD 中，tanA=，AD=100，在 RtBCD 中，BD=CD=100，AB=AD+BD=100+100=100（1+）答：A、B 两点间的距离为 100（1+）米 故答案为 100（1+）【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：解
7、决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形 3.（2018山东泰安3 分）如图，在ABC 中，AC=6，BC=10，tanC=，点 D 是 AC 边上的动点（不与点C 重合），过 D 作 DEBC，垂足为 E，点 F 是 BD 的中点，连接 EF，设 CD=x，DEF 的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数关系式为 S=x2 【分析】可在直角三角形 CED 中，根据 DE、CE 的长，求出BED 的面积即可解决问题【解答】解：（1）在 RtCDE 中，tanC=，CD=x DE=x，CE=x，BE=10 x，SB
8、ED=（10 x）x=x2+3x DF=BF，S=SBED=x2，故答案为 S=x2【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 4（2018山东潍坊3 分）如图，一艘渔船正以 60 海里/小时的速度向正东方向航行，在 A 处测得岛礁 P在东北方向上，继续航行 1.5 小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P 在北偏东 30方向，同时测得岛礁 P 正东方向上的避风港 M 在北偏东 60方向为了在台风到来之前用最短时间到达 M 处，渔船立刻加速以 75 海里/小时的速度继续航行 小时即可到达（结果保留根号）【分析】如图，过点 P 作 PQAB 交
9、AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MNAB 交 AB 延长线于点 N，通过解直角AQP、直角BPQ 求得 PQ 的长度，即 MN 的长度，然后通过解直角BMN 求得 BM 的长度，则易得所需时间【解答】解：如图，过点 P 作 PQAB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MNAB 交 AB 延长线于点 N，在直角AQP 中，PAQ=45，则 AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ90 在直角BPQ 中，BPQ=30，则 BQ=PQtan30=PQ（海里），所以 PQ90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角BMN
10、中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以=（小时）故答案是：【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想 5（2018 年江苏省泰州市3 分）如图，ABC 中，ACB=90，sinA=，AC=12，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心，PA长为半径作P，当P 与ABC的边相切时，P 的半径为 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T
11、 时，【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ 设 PQ=PA=r，PQCA，=，=，r=如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A、B、T 共线，ABTABC，=，=，AT=，r=AT=综上所述，P 的半径为或【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 6（2018湖北省武汉 3 分）如图在ABC 中，ACB=60，AC=1，D 是边 AB 的中点，E 是边 BC 上一点若 DE 平分ABC 的周长，则 DE 的长是 【分析】延
12、长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CNAM 于 N，根据题意得到 ME=EB，根据三角形中位线定理得到 DE=AM，根据等腰三角形的性质求出ACN，根据正弦的概念求出 AN，计算即可【解答】解：延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CNAM 于 N，DE 平分ABC 的周长，ME=EB，又 AD=DB，DE=AM，DEAM，ACB=60，ACM=120，CM=CA，ACN=60，AN=MN，AN=ACsinACN=，AM=，DE=，故答案为：【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键 题号
13、依次顺延 三.解答题 1.（2018四川凉州8 分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路 MN，已知 C 点周围200 米范围内为原始森林保护区，在 MN 上的点 A 处测得 C 在 A 的北偏东 45方向上，从 A 向东走 600 米到达 B 处，测得 C 在点 B 的北偏西 60方向上（1）MN 是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高 25%，则原计划完成这项工程需要多少天？【分析】（1）要求 MN 是否穿过原始森林保护区，也就是求 C 到 MN 的距离要构造直角三角形，再
14、解直角三角形；（2）根据题意列方程求解【解答】解：（1）理由如下：如图，过 C 作 CHAB 于 H 设 CH=x，由已知有EAC=45，FBC=60，则CAH=45，CBA=30 在 RtACH 中，AH=CH=x，在 RtHBC 中，tanHBC=，AH+HB=AB，x+x=600，解得 x=220（米）200（米）MN 不会穿过森林保护区 （2）设原计划完成这项工程需要 y 天，则实际完成工程需要（y5）天 根据题意得：=（1+25%）解得：y=25 经检验知：y=25 是原方程的根 答：原计划完成这项工程需要 25 天 【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用 2.
15、（2018山西8 分）祥 云 桥 位 于 省 城 太 原 南 部，该 桥 塔 主 体 由 三 根 曲 线 塔 柱 组 合 而 成，全 桥 共 设 13 对 直 线 型 斜 拉 索，造 型 新 颖，是“三 晋 大 地”的 一 种 象 征.某 数 学“综 合 与 实 践”小 组 的 同 学 把“测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离”作 为 一 项 课 题 活 动，他 们 制 订 了 测 量 方 案，并 利 用 课 余 时 间 借 助 该 桥 斜 拉 索 完 成 了 实 地 测 量.测 量结 果如 下表.项 目 内 容 课 题 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 测 量
16、 示 意 图 说 明：两 侧 最 长 斜 拉 索 AC，BC 相 交 于 点 C，分 别 与 桥 面 交 于 A，B 两 点，且 点 A，B，C 在 同 一 竖 直 平 面 内.测 量 数 据 A 的 度 数 B 的 度 数 AB 的 长 度 38 28 234 米 .(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离（参考数据 sin 38 0.6，cos 38 0.8，tan 38 0.8，sin 28 0.5，cos 28 0.9，tan 28 0.5）；(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.【考 点
17、】三 角 函 数 的 应 用【解 析】（1）解：过 点 C 作 CD AB 于 点 D.设 CD=x 米，在 Rt ADC 中，ADC=90，A=38.AD BD AB 234.54 x 2x 234.解 得 x 72.答：斜 拉 索 顶 端 点 C 到 AB 的 距 离 为 72 米.（2）解：答 案 不 唯 一，还 需 要 补 充 的 项 目 可 为：测 量 工 具，计 算 过 程，人 员 分 工，指 导 教 师，活 动 感 受 等.3.（2018山东枣庄4 分）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31，AB 的长为 12 米，则大厅两层之间的高度为 6.18 米（2018山东
18、枣庄结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 BC 的长，从而可以解答本题【解答】解：在 RtABC 中，ACB=90，BC=ABsinBAC=120.515=6.18（米），答：大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.18 米 故答案为：6.18【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答 4（2018四川成都8 分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于 2018 年 5 月成功完成第一次海上试验任务.如
19、图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80 海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.（参考数据：，）【答案】解：由题知：，.在 中，（海里）.在 中，（海里）.答：还需要航行的距离 的长为 20.4 海里.【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】根据题意可得出，再利用解直角三角形在 RtACD 和 RtBCD 中，先求出 CD 的长，再求出 BD 的长，即可解答。5（2018山东菏泽6 分）2018 年 4 月 12 日，菏泽国际牡丹花会拉开
20、帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园 A 处的俯角为 30，B 处的俯角为 45，如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 200 米，点 A、B、D 在同一条直线上，则 A、B 两点间的距离为多少米？（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可【解答】解：ECAD，A=30，CBD=45，CD=200，CDAB 于点 D 在 RtACD 中，CDA=90，tanA=，AD=，在 RtBCD 中，CDB=90，CBD=45 DB=CD=200，AB=
21、ADDB=200200，答：A、B 两点间的距离为 200200 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用 CD 为直角ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解分别在两三角形中求出 AD 与 BD 的长 6（2018江西8 分）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图 2 是其俯视图简化示意图，已知轨道,两扇活页门的宽,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若,求的长；(2)当点从点向右运动 60时，求点在此过程中运动的路径长.参考数据：sin50
22、0.77,cos500.64,tan501.19,取 3.14 CBAO 图 1 图 2 【解析】（1）如图，作 OHAB 于 H OC=OB=60 CH=BH 在 RtOBH 中 cosOBC=BH=OBcos50600.64=38.4 AC=AB2BH120238.4=43.2 AC 的长约为 43.2cm.（2）AC=60 BC=60 OC=OB=60 OC=OB=BC=60 OBC 是等边三角形 OC 弧长=62.8 点 O 在此过程中运动的路径长约为 62.8cm.7（2018湖南省常德7 分）图 1 是一商场的推拉门，已知门的宽度 AD=2 米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），
23、将左边的门 ABB1A1绕门轴 AA1向里面旋转 37，将右边的门 CDD1C1绕门轴 DD1向外面旋转 45，其示意图如图 2，求此时 B 与 C 之间的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin370.6，cos370.8，1.4）【分析】作 BEAD 于点 E，作 CFAD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM，则 EM=BC，在 RtABE、RtCDF 中可求出 AE、BE、DF、FC 的长度，进而可得出 EF 的长度，再在 RtMEF 中利用勾股定理即可求出 EM的长，此题得解【解答】解：作 BEAD 于点 E，作 CFAD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=C
24、M，如图所示 AB=CD，AB+CD=AD=2，HCBAOCBAOAB=CD=1 在 RtABE 中，AB=1，A=37，BE=ABsinA0.6，AE=ABcosA0.8 在 RtCDF 中，CD=1，D=45，CF=CDsinD0.7，DF=CDcosD0.7 BEAD，CFAD，BECM，又BE=CM，四边形 BEMC 为平行四边形，BC=EM，CM=BE 在 RtMEF 中，EF=ADAEDF=0.5，FM=CF+CM=1.3，EM=1.4，B 与 C 之间的距离约为 1.4 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出
25、 BC 的长度是解题的关键 8（2018湖南省衡阳8 分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 C 出发，沿北偏东 30的方向行走 2000米到达石鼓书院 A 处，参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 45方向的雁峰公园 B 处，如图所示（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在 15 分钟内能否到达宾馆？【解答】解：（1）作 CPAB 于 P，由题意可得出：A=30，AP=2000 米，则 CP=AC=1000 米；（2）在 RtPBC 中，PC=1000，PBC=B
26、PC=45，BC=PC=1000米 这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，他到达宾馆需要的时间为=1015，他在 15 分钟内能到达宾馆 9.（2018山东临沂7 分）如图，有一个三角形的钢架 ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m 的圆形门？【分析】过 B 作 BDAC 于 D，解直角三角形求出 AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可【解答】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门，理由是：过 B 作 BDAC 于 D，ABBD，BCBD，ACAB，求出 DB 长和 2.
27、1m 比较即可，设 BD=xm，A=30，C=45，DC=BD=xm，AD=BD=xm，AC=2（+1）m，x+x=2（+1），x=2，即 BD=2m2.1m，工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出 BD 的长是解此题的关键 10（2018山东青岛6 分）某区域平面示意图如图，点 O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路甲勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7，测得 AC=840m，BC=500m请求出点 O 到 BC 的距离 参考数据：si
28、n73.7，cos73.7，tan73.7 【分析】作 OMBC 于 M，ONAC 于 N，设 OM=x，根据矩形的性质用 x 表示出 OM、MC，根据正切的定义用 x表示出 BM，根据题意列式计算即可【解答】解：作 OMBC 于 M，ONAC 于 N，则四边形 ONCM 为矩形，ON=MC，OM=NC，设 OM=x，则 NC=x，AN=840 x，在 RtANO 中，OAN=45，ON=AN=840 x，则 MC=ON=840 x，在 RtBOM 中，BM=x，由题意得，840 x+x=500，解得，x=480，答：点 O 到 BC 的距离为 480m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用
29、，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键 11.（2018甘肃白银，定西，武威）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：，）【答案】隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里 【解析】【分析】过点 C 作 CDAB,垂足为 D,在 RtADC 和 RtBCD 中，分别解直角三角形即可.【解答】如图
30、，过点 C 作 CDAB,垂足为 D,在 RtADC 和 RtBCD 中，CAB=30，CBA=45，AC=640 CD=320，AD=，BD=CD=320，BC=,AC+BC=，AB=AD+BD=，1088-864=224（公里）答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里 【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.12（2018安徽4 分）为了测量竖直旗杆 AB 的高度，某综合实践小组在地面 D 处竖直放置标杆 CD，并在地面上水平放置个平面镜 E，使得 B，E，D 在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的 F 处通过平面镜 E恰好观测到旗杆顶
31、A(此时AEB=FED).在 F 处测得旗杆顶 A 的仰角为 39.3，平面镜 E 的俯角为 45，FD=1.8 米，问旗杆 AB 的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据：tan39.30.82，tan84.310.02)【答案】旗杆 AB 高约 18 米.【解析】【分析】如图先证明FDEABE，从而得，在 RtFEA 中，由 tanAFE=，通过运算求得 AB 的值即可.【详解】如图，FM/BD，FED=MFE=45，DEF=BEA，AEB=45，FEA=90，FDE=ABE=90，FDEABE，在 RtFEA 中，AFE=MFE+MFA=45+39.3=84.3，tan84.3=，A
32、B=1.810.0218，答：旗杆 AB 高约 18 米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键.13.（2018株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线都垂直，垂足分别为点 A、点 B 和点 C，（高速路右侧边缘），上的点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM千米，上的点 N 位于点 M 的北偏东方向上，且，MN=千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点.（1）求之间的距离（2）若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要多少小时？（结果用分数表示）【答案】（1）
33、2；（2）小时.【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案；（2）利用 tan30=，得出 AB 的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得出 AN 的长，即可得出答案 详解：（1）过点 M 作 MDNC 于点 D，cos=，MN=2千米，cos=，解得：DM=2（km），答：l2和 l3之间的距离为 2km；（2）点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM=千米，tan30=，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），MN=2km，DM=2km，DN=4（km），则 NC=DN+BM=5（km），AN=10（km），城际火车平均时速为
34、150 千米/小时，市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要小时 点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键 14（2018株洲市）如图，在 RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中 AM=AN.(1)求证：RtABMRtAND (2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT=,求的值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）利用 HL 证明即可；（2）证明DNTAMT，可得，由 AT=AD，推出，在 RtABM 中，tanABM=详解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90 RtABMRtAN
35、D（HL）（2）由 RtABMRtAND 易得：DAN=BAM，DN=BM BAM+DAM=90；DAN+ADN=90 DAM=AND NDAM DNTAMT AT=AD，RtABM tanABM=点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 15（2018 年江苏省南京市）如图，为了测量建筑物 AB 的高度，在 D 处树立标杆 CD，标杆的高是 2m，在DB 上选取观测点 E、F，从 E 测得标杆和建筑物的顶部 C、A 的仰角分别为 58、45从 F 测得 C、A 的仰角分别为 22、70求建筑物 AB
36、的高度（精确到 0.1m）（参考数据：tan220.40，tan581.60，tan702.75）【分析】在CED 中，得出 DE，在CFD 中，得出 DF，进而得出 EF，列出方程即可得出建筑物 AB 的高度；【解答】解：在 RtCED 中，CED=58，tan58=，DE=，在 RtCFD 中，CFD=22，tan22=，DF=，EF=DFDE=，同理：EF=BEBF=，解得：AB5.9（米），答：建筑物 AB 的高度约为 5.9 米【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题 16（2018 年江苏省南京市）结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答
37、 题目：如图，RtABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD=3，BD=4，求ABC 的面积 解：设ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x 根据切线长定理，得 AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2 整理，得 x2+7x=12 所以 SABC=ACBC=（x+3）（x+4）=（x2+7x+12）=（12+12）=12 小颖发现 12 恰好就是 34，即ABC 的面积等于 AD 与 BD 的积这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索 已知：ABC 的内切圆与 AB 相切于点 D，AD=m，BD=
38、n 可以一般化吗？（1）若C=90，求证：ABC 的面积等于 mn 倒过来思考呢？（2）若 ACBC=2mn，求证C=90 改变一下条件（3）若C=60，用 m、n 表示ABC 的面积 【分析】（1）由切线长知 AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，即x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；（2）由由 ACBC=2mn 得（x+m）（x+n）=2mn，即 x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可；（3）作 AGBC，由三角函数得 AG=ACsin60=（x+m），CG=ACcos60=（x+m）、
39、BG=BCCG=（x+n）（x+m），在 RtABG 中，根据勾股定理可得 x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得【解答】解：设ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x，根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，（1）如图 1，在 RtABC 中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，整理，得：x2+（m+n）x=mn，所以 SABC=ACBC=（x+m）（x+n）=x2+（m+n）x+mn=（mn+mn）=mn，（2）由 ACBC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，整理，得：x2+（m
40、+n）x=mn，AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2=2x2+（m+n）x+m2+n2=2mn+m2+n2=（m+n）2=AB2，根据勾股定理逆定理可得C=90；（3）如图 2，过点 A 作 AGBC 于点 G，在 RtACG 中，AG=ACsin60=（x+m），CG=ACcos60=（x+m），BG=BCCG=（x+n）（x+m），在 RtABG 中，根据勾股定理可得：（x+m）2+（x+n）（x+m）2=（m+n）2，整理，得：x2+（m+n）x=3mn，SABC=BCAG=（x+n）（x+m）=x2+（m+n）x+mn=（3mn+mn）=mn【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题
41、的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点 17（2018株洲市）如图，在 RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中 AM=AN.(1)求证：RtABMRtAND (2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT=,求的值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）利用 HL 证明即可；（2）证明DNTAMT，可得，由 AT=AD，推出，在 RtABM 中，tanABM=详解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90 RtABMRtAND（HL）（2）由 RtABMRtAND 易得：DAN=BAM，DN=B
42、M BAM+DAM=90；DAN+ADN=90 DAM=AND NDAM DNTAMT AT=AD，RtABM tanABM=点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 18（2018 年江苏省泰州市10 分）日照间距系数反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（HH1），其中 L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度 如图，山坡 EF 朝北，EF 长为 15m，坡度为 i=1：0.75，山坡顶部平地 EM 上有一高为 22.5m 的楼房 AB，底
43、部 A 到 E 点的距离为 4m（1）求山坡 EF 的水平宽度 FH；（2）欲在 AB 楼正北侧山脚的平地 FN 上建一楼房 CD，已知该楼底层窗台 P 处至地面 C 处的高度为 0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于 1.25，底部 C 距 F 处至少多远？【分析】（1）在 RtEFH 中，根据坡度的定义得出 tanEFH=i=1：0.75=，设 EH=4x，则 FH=3x，由勾股定理求出 EF=5x，那么 5x=15，求出 x=3，即可得到山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9m；（2）根据该楼的日照间距系数不低于 1.25，列出不等式1.25，解不等式即可【解答】解：（1）在 RtEFH
44、中，H=90，tanEFH=i=1：0.75=，设 EH=4x，则 FH=3x，EF=5x，EF=15，5x=15，x=3，FH=3x=9 即山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9m；（2）L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，日照间距系数=L：（HH1）=，该楼的日照间距系数不低于 1.25，1.25，CF29 答：要使该楼的日照间距系数不低于 1.25，底部 C 距 F 处 29m 远 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键 19（2018 年江苏省宿迁）如图，为了测量
45、山坡上一棵树 PQ 的高度，小明在点 A 处利用测角仪测得树顶 P 的仰角为 450 ，然后他沿着正对树 PQ 的方向前进 100m 到达 B 点处，此时测得树顶 P 和树底 Q 的仰角分别是 600和 300 ，设 PQ 垂直于 AB，且垂足为 C.（1）求BPQ 的度数；（2）求树 PQ 的高度（结果精确到 0.1m，）【答案】（1）解：依题可得：A=45,PBC=60,QBC=30,AB=100m，在 RtPBC 中，PBC=60,PCB=90,BPQ=30,（2）解：设 CQ=x，在 RtQBC 中，QBC=30,QCB=90,BQ=2x，BC=x，又PBC=60,QBC=30，PBQ
46、=30,由（1）知BPQ=30,PQ=BQ=2x，PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又A=45，AC=PC，即 3x=10+x，解得：x=,PQ=2x=15.8（m）.答：树 PQ 的高度约为 15.8m.【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含 30 度角的直角三角形 【解析】【分析】(1）根据题意题可得：A=45,PBC=60,QBC=30,AB=100m，在 RtPBC 中，根据三角形内角和定理即可得BPQ 度数.（2）设 CQ=x，在 RtQBC 中，根据 30 度所对的直角边等于斜边的一半得 BQ=2x，由勾股定理得 BC=x；根据角的计算得PBQ=BPQ=3
47、0,由等角对等边得 PQ=BQ=2x，用含 x 的代数式表示 PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又A=45，得出 AC=PC，建立方程解之求出 x，再将 x 值代入 PQ 代数式求之即可.20（2018株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线都垂直，垂足分别为点 A、点 B 和点 C，（高速路右侧边缘），上的点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM千米，上的点 N 位于点 M 的北偏东方向上，且，MN=千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点.（1）求之间的距离（2）若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站
48、点 A 到站点 N 需要多少小时？（结果用分数表示）【答案】（1）2；（2）小时.【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案；（2）利用 tan30=，得出 AB 的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得出 AN 的长，即可得出答案 详解：（1）过点 M 作 MDNC 于点 D，cos=，MN=2千米，cos=，解得：DM=2（km），答：l2和 l3之间的距离为 2km；（2）点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM=千米，tan30=，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），MN=2km，DM=2km，DN=4（km），则 NC
49、=DN+BM=5（km），AN=10（km），城际火车平均时速为 150 千米/小时，市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要小时 点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键 21.（2018新疆生产建设兵团10 分）如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆 AB 的高度，站在教学楼的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 45，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30已知旗杆与教学楼的距离BD=9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）【分析】根据在 RtACF 中，tanACF=，求出 AD 的值，再根据在 RtBCD 中，tanBCD=，求出 BD的值，最后
50、根据 AB=AD+BD，即可求出答案【解答】解：在 RtACF 中，tanACF=，tan30=，=，AF=3m，在 RtBCD 中，BCD=45，BD=CD=9m，AB=AD+BD=3+9（m）【点评】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形 22.（2018四川宜宾8 分）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB、CD 均垂直于地面，点 E 在线段 BD 上，在 C 点测得点 A 的仰角为 30，点 E 的俯角也为 30，测得 B、E 间距离为 10 米，立柱 AB 高 30米求立柱 CD 的高（结果保留根号）【考点
51、】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】作 CHAB 于 H，得到 BD=CH，设 CD=x 米，根据正切的定义分别用 x 表示出 HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可【解答】解：作 CHAB 于 H，则四边形 HBDC 为矩形，BD=CH，由题意得，ACH=30，CED=30，设 CD=x 米，则 AH=（30 x）米，在 RtAHC 中，HC=（30 x），则 BD=CH=（30 x），ED=（30 x）10，在 RtCDE 中，=tanCED，即=，解得，x=15，答：立柱 CD 的高为（15）米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念
52、、仰角俯角的定义是解题的关键 23.（2018天津10 分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案 详解：如图，过点作，垂足为.则.由题意可知，.可得四边形为矩形.，.在中，.在中，.答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题
53、，难度一般 24.（2018四川自贡8 分）如图，在ABC 中，BC=12，tanA=，B=30；求 AC 和 AB 的长 【分析】如图作 CHAB 于 H在 Rt求出 CH、BH，这种 RtACH 中求出 AH、AC 即可解决问题；【解答】解：如图作 CHAB 于 H 在 RtBCH 中，BC=12，B=30，CH=BC=6，BH=6，在 RtACH 中，tanA=，AH=8，AC=10，AB=AH+BH=8+6【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 25.（2018浙江衢州8 分）“五一”期间，小明到小陈家
54、所在的美丽乡村游玩，在村头 A 处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家 C 在自己的北偏东 45方向，于是沿河边笔直的绿道 l 步行 200 米到达 B 处，这时定位显示小陈家 C 在自己的北偏东 30方向，如图所示，根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头 D 处（精确到 1 米）（备用数据：1.414，1.732）【考点】解直角三角形【分析】根据题意表示出 AD，DC 的长，进而得出等式求出答案【解答】解：如图所示：可得：CAD=45，CBD=60，AB=200m，则设 BD=x，故 DC=x AD=DC，200+x=x，解得：x=100（1）73，答
55、：小明还需沿绿道继续直走 73 米才能到达桥头D 处 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AD=DC 是解题的关键 26.（2018浙江舟山10 分）如图 1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB，P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE，F 为 PD 中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，DPE=20。当点 P 位于初始位置 P0 时，点 D 与 C 重合（图 2），根据生活经验，当太阳光线与 PE 垂直时，遮阳效果最佳。（1）上午 10：00 时，太阳光线与地面的夹角为 65（图 3），为使遮阳效果最佳，点 P 需从 P0上调多少距离？（结果精确
56、到 0.1m）（2）中午 12：00 时，太阳光线与地面垂直（图 4），为使遮阳效果最佳，点 P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 0.1m）（参考数：sin700.94，cos700.34，tan702.75，1.41，1.73）【考点】等腰三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【分析】（1）求 P 上升的高度，设上升后的点 P 为 P1 ，即求 P0P1=CP0-CP1的值，其中 CP0=2，即求 CP1的长度，由已知可得 P1F=CF=1，且可已知求出C=45，从而可得CP1F 为等腰直角三角形，由勾股定理求出 CP1即可；（2）与（1）同理即求 CP2的长度，因为CP
57、1F 为等腰三角形，由三线合一定理，作底中的垂线，根据解直角三角形的方法求出底边的长即可 【解答】（1）如图 2，当点 P 位于初始位置 P0时，CP0=2m。如图 3，10：00 时，太阳光线与地面的夹角为 65，点 P 上调至 P1处，1=90，CAB=90，AP1E=115，CPE=65 DP1E=20，CP1F=45 CF=P1F=1m，C=CP1F=45，CP1F 为等腰直角三角形，CP1=m，P0P1=CP0-CP1=2-0.6m，即点 P 需从 P0上调 0.6m（2）如图 4，中午 12：00 时，太阳光线与 PE，地面都垂直，点 P 上调至 P2处，P2EAB CAB=90，
58、CP2E=90 DP2E=20，CP2F=CP2E-DP2E=70 CF=P2F=1m，得CP2F 为等腰三角形，C=CP2F=70 过点 F 作 FGCP2于点 G，GP2=P2Fcos70=10.34=0.34m CP2=2GP2=0.68m，P1P2=CP1-CP2=-0.680.7 即点 P 在（1）的基础上还需上调 0.7m。【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的应用.27（2018广西桂林8 分）如图所示，在某海域，一般指挥船在 C 处收到渔船在 B 处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的 B 处位于 C 处的南偏西 45方向上，且 BC=60 海里；指挥
59、船搜索发现，在 C 处的南偏西 60方向上有一艘海监船 A，恰好位于 B 处的正西方向.于是命令海监船 A 前往搜救，已知海监船A 的航行速度为 30 海里/小时，问渔船在 B 处需要等待多长时间才能得到海监船 A 的救援？（参考数据：，结果精确到 0.1 小时）【答案】1.0 小时.【解析】分析：延长 AB 交南北轴于点 D，则 ABCD 于点 D，通过解直角三角形 BDC 和 ADC，求出 BD、CD 和AD 的长，继而求出 AB 的长，从而可以解决问题.详解：因为 A 在 B 的正西方，延长 AB 交南北轴于点 D，则 ABCD 于点 D BCD=45，BDCD BD=CD 在 RtBD
60、C 中，cosBCD=，BC=60 海里 即 cos45=，解得 CD=海里 BD=CD=海里 在 RtADC 中，tanACD=即 tan60=，解得 AD=海里 AB=ADBD AB=30（）海里 海监船 A 的航行速度为 30 海里/小时 则渔船在 B 处需要等待的时间为=2.451.41=1.041.0 小时 渔船在 B 处需要等待 1.0 小时 点睛：此题考查了方向角问题此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用 28.(2018 四川省眉山市 5 分)知识改变世界，科技改变生活。导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织
61、学生乘车到黑龙滩（用 C 表示）开展社会实践活动，车到达 A 地后，发现 C 地恰好在 A地的正北方向，且距离 A 地 13 千米，导航显示车辆应沿北偏东 60方向行驶至 B 地，再沿北偏西 37方向行驶一段距离才能到达 C 地，求 B、C 两地的距离.（参考数据：sin53,cos53，tan53)【答案】解：过点 B 作 BD AC，依题可得：BAD=60，CBE=37,AC=13（千米），BD AC，ABD=30，CBD=53,在 RtDCB 中，tanCBD=,即 tan53=，设 CD=4x，BD=3x，BC=5x，又AC=13，AD=13-4x，在 RtDBA 中，tanBAD=t
62、an60=,即：,解得：x=4-,BC=5x=5（4-）=20-5（千米）.答：B、C 两地的距离为 20-5 千米.【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】过点 B 作 BD AC，根据三角形内角和结合已知条件得ABD=30，CBD=53,在 RtDCB 中，根据正切定义得 tanCBD=,即 tan53=，由此设 CD=4x，BD=3x，根据勾股定理得BC=5x，则 AD=13-4x；在 RtDBA 中，根据正切定义得 tanBAD=tan60=,代入数值解方程得 x=4-,又 BC=5x 从而求出 B、C 两地距离.29（2018 年四川省内江市）如图是某路灯在铅垂面内的示
63、意图，灯柱 AC 的高为 11 米，灯杆 AB 与灯柱AC 的夹角A=120，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 长为 18 米，从 D，E 两处测得路灯 B 的仰角分别为 和 ，且 tan=6，tan=，求灯杆 AB 的长度 【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】过点 B 作 BFCE，交 CE 于点 F，过点 A 作 AGAF，交 BF 于点 G，则 FG=AC=11设 BF=3x 知 EF=4x、DF=，由 DE=18 求得 x=4，据此知 BG=BFGF=1，再求得BAG=BACCAG=30可得 AB=2BG=2【解答】解：过点 B 作 BFCE，交 CE 于点
64、F，过点 A 作 AGAF，交 BF 于点 G，则 FG=AC=11 由题意得BDE=，tan=设 BF=3x，则 EF=4x 在 RtBDF 中，tanBDF=，DF=x，DE=18，x+4x=18 x=4 BF=12，BG=BFGF=1211=1，BAC=120，BAG=BACCAG=12090=30 AB=2BG=2，答：灯杆 AB 的长度为 2 米【点评】本题主要考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力 30（2018 四川省泸州市 8 分）如图，甲建筑物 AD，乙建筑物 BC 的水平距离 AB 为 90m，且乙建筑物的高度是
65、甲建筑物高度的 6 倍，从 E（A，E，B 在同一水平线上）点测得 D 点的仰角为 30，测得 C 点的仰角为60，求这两座建筑物顶端 C、D 间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）【分析】在直角三角形中，利用余弦函数用 AD 表示出 AE、DE，用 BC 表示出 CE、BE根据 BC=6AD，AE+BE=AB=90m，求出 AD、DE、CE 的长在直角三角形 DEC 中，利用勾股定理求出 CD 的长【解答】解：由题意知：BC=6AD，AE+BE=AB=90m 在 RtADE 中，tan30=，sin30=AE=AD，DE=2AD；在 RtBCE 中，tan60=，sin60=，BE=2A
66、D，CE=4AD；AE+BE=AB=90m AD+2AD=90 AD=10（m）DE=20m，CE=120m DEA+DEC+CEB=180，DEA=30，CEB=60，DEC=90 CD=20（m）答：这两座建筑物顶端 C、D 间的距离为 20m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用及勾股定理题目难度不大，解决本题的关键是利用 BC=6AD，AE+BE=AB=90m 求出 AD 的长 31.（2018河南9 分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离，某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面
67、图编制了如下数学问题，请你解答。如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90cm，低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155cm，高杠上点 D到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角CAE 为 82.4，高杠的支架 BD与直线 AB 的夹角DBF 为 80.3，求高、低杠间的水平距离 CH 的长。（结 果 精 确 到 1cm，参 考 数 据：sin82.40.991，cos82.40.132，tan82.47.500。sin80.30.983，cos80.30.168，tan80.35.850）32（2018湖北恩施8 分）如图
68、所示，为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离，小明在 A 处测得 C 在北偏东 30方向上，然后向正东方向前进 100 米至 B 处，测得此时 C 在北偏西 15方向上，求旗台与图书馆之间的距离（结果精确到 1 米，参考数据1.41，1.73）【分析】先根据题目给出的方向角求出三角形各个内角的度数，过点 B 作 BEAC 构造直角三角形利用三角函数求出 AE、BE，再求和即可【解答】解：由题意知：WAC=30，NBC=15，BAC=60，ABC=75，C=45 过点 B 作 BEAC，垂足为 E 在 RtAEB 中，BAC=60，AB=100 米 AE=cosBACAB=100=50（米
69、）BE=sinBACAB=100=50（米）在 RtCEB 中，C=45，BE=50（米）CE=BE=50=86.5（米）AC=AE+CE=50+86.5=136.5（米）137 米 答：旗台与图书馆之间的距离约为 137 米 【点评】本题考查了方向角和解直角三角形题目难度不大，过点 B 作 AC 的垂线构造直角三角形是解决本题的关键 33.（2018湖北黄冈7 分）如图，在大楼 AB 正前方有一斜坡 CD，坡角DCE=30，楼高 AB=60 米，在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60，在斜坡上的 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45，其中点 A,C,E 在同一直线上.（1）求坡底 C
70、 点到大楼距离 AC 的值；（2）求斜坡 CD 的长度.（第 21 题图）【考点】解直角三角形的应用，三角函数.【分析】（1）在在 RtABC 中，利用三角函数，可求出 AC 的值；（2）过点 D 作 DFAB 于点 F，则四边形 AEDF 为矩形；设 CD=x 米，表示出 DE=21 x 米，CE=23 x 米，得出BF=DF=AB-AF=60-21 x，根据 DF=AE=AC+CE 列解方程即可.【解答】解：（1）在 RtABC 中，AB=60 米，ACB=60，AC=60tanAB=20 3 米.（2）过点 D 作 DFAB 于点 F，则四边形 AEDF 为矩形，AF=DE，DF=AE
71、设 CD=x 米，在 RtCDE 中，DE=21 x 米，CE=23 x 米 在 RtBDF 中，BDF=45，BF=DF=AB-AF=60-21 x（米）DF=AE=AC+CE，20 3+23 x=60-21 x 解得：x=80 3-120（米）（或解：作 BD 的垂直平分线 MN，构造 30直角三角形，由 BC=40 3 解方程可得 CD=80 3-120）答：（1）坡底 C 点到大楼距离 AC 的值为 20 3 米；（2）斜坡 CD 的长度为 80 3-120 米.【点评】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题、坡度坡角问题，构造直角三角形是解本题的关键 34（2018湖北荆门10 分）数学
72、实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离如图，无人机所在位置 P 与岚光阁阁顶 A、湖心亭 B 在同一铅垂面内，P 与 B 的垂直距离为 300米，A 与 B 的垂直距离为 150 米，在 P 处测得 A、B 两点的俯角分别为 、，且 tan=，tan=1，试求岚光阁与湖心亭之间的距离 AB（计算结果若含有根号，请保留根号）【分析】过点 P 作 PDQB 于点 D，过点 A 作 AEPD 于点 E，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可【解答】解：过点 P 作 PDQB 于点 D，过点 A 作 AEPD 于点 E 由题意得：PBD=，PAE=，AC=150，PD=300，在 RtPBD 中，AED=EDC=ACD=90，四边形 EDCA 为矩形，DC=EA，ED=AC=150，PE=PDED=300150=150，在 RtPEA 中，在 RtACB 中，（米）答：岚光阁与湖心亭之间的距离 AB 为 450 米【点评】此题考查了俯角的定义注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形
