1、命题点2数列中的奇偶项问题例2 2022天津高考已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，a1b1a2b2a3b31.（1）求an，bn的通项公式.（2）证明：（Sn1an1）bnSn1bn1Snbn.（3）求2nk=1ak1（1）kakbk.解析（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，根据a1b1a2b2a3b31得1+dq=1，1+2dq2=1，解得dq0（舍）或dq2，所以an2n1，bn2n1.（2）解法一因为Sn为数列an的前n项和，所以Sn（a1an）n2n（1+2n1）2n2，则（Sn1an1）bn（n1）22（n1）12n1（n24n2）2n1，Sn
2、1bn1Snbn（n1）22nn22n12n12（n1）2n22n1（n24n2），所以（Sn1an1）bnSn1bn1Snbn.解法二因为Sn为数列an的前n项和，所以（Sn1an1）bn（Snan1an1）bn（Sn2an1）bn，Sn1bn1Snbn（Snan1）（2bn）Snbnbn（2Sn2an1Sn）（Sn2an1）bn，所以（Sn1an1）bnSn1bn1Snbn.（3）令cnan1（1）nanbn，当n为奇数时，cn（an1an）bn（2n12n1）2n14n2n1n2n1，当n为偶数时，cn（an1an）bn（2n12n1）2n122n12n，则k=12nak1（1）kakb
3、k（c1c3c5c2n1）（c2c4c6c2n），令Tnc1c3c5c2n1122324526（2n1）22n，则4Tn124326528（2n1）22n2，所以3Tn222（242622n）（2n1）22n24224（14n1）14（2n1）22n2，所以Tn20+（6n5）22n+29.令Anc2c4c6c2n22242622n4（14n）1422n+243.所以k=12nak1（1）kakbkTnAn20+（6n5）22n+2922n+2438+（3n1）22n+39.方法技巧解答与奇偶项有关的求和问题的关键（1）弄清n为奇数或偶数时数列的通项公式.（2）弄清n为奇数时数列前n项中奇数项
4、与偶数项的个数.训练2 2023南京六校联考已知数列an满足a11，a23，数列bn为等比数列，且满足bn（an1an）bn1.（1）求数列an的通项公式；（2）已知数列bn的前n项和为Sn，若，记数列cn满足cnan，n为奇数，bn，n为偶数，求数列cn的前2n项和T2n.在2S2S32，b2，2a3，b4成等差数列，S6126这三个条件中任选一个，补充在第（2）问中，并对其求解.解析（1）因为bn（an+1an）bn+1，a11，a23，所以令n1，得2b1b2，又数列bn为等比数列，所以bn+12bn，即数列bn的公比为2.则an+1an2，所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an2n1.（2）由（1）知数列bn是公比为2的等比数列.若选，由2S2S32得2（b12b1）b12b14b12，所以b12，则bn2n.若选，由b2，2a3，b4成等差数列得b2b44a3，即2b18b120，所以b12，则bn2n.若选，由S6126得b1（126）12126，所以b12，则bn2n.所以cn2n1，n为奇数，2n，n为偶数.所以数列cn的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列.所以T2n（a1a3a2n1）（b2b4b2n）nn（n1）244（14n）142n2n4（4n1）3.
