1、课时作业53双曲线一、选择题1已知双曲线1，则其焦距为(D)A.B2C.D2解析：由双曲线方程知c29413，c，焦距为2，故选D.2(2019北京卷)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a(D)A.B4C2 D.解析：解法1：由双曲线方程可知b21，所以c，所以e，解得a，故选D.解法2：由e，e21，b21，得51，得a，故选D.3已知双曲线1(m0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(D)A.1 B.1Cx21 D.1解析：由题意，得2，解得m2，双曲线的标准方程为1，故选D.4已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为y2x，且经过点P(，4)，则双曲线的方程是(C)A.
2、1 B.1C.1Dx21解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y2x，所以2.又双曲线过点P(，4)，所以1.联立，解得a，b2，所以双曲线的方程为1，故选C.5已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(D)A直线B圆C椭圆D双曲线解析：因为N为线段F1M的中点，O为线段F1F2的中点，所以|F2M|2|ON|2.因为P在线段F1M的中垂线上，所以|PF1|PM|，所以|PF1|PF2|F2M|2|ON|20，b0)，将点(2,1)代入可得1，由得故所求双曲线的方程为1.故选A.8已
3、知双曲线1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF周长l的最小值为(B)A4B4(1)C2() D.3解析：设双曲线的左焦点为F.双曲线的右焦点为F(，0)，APF的周长l|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|，要使APF周长最小，只需|AP|PF|最小，如图，当A，P，F三点共线时|AP|PF|取得最小值，此时l2|AF|2a4(1)，故选B.9(多选题)已知双曲线C：1(a0，b0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若MAN60，则有(AC)A渐近线方程为yxBeCeD渐近线方程为yx解析：双曲线C：1(a0，b0)
4、的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，可得A到渐近线bxay0的距离为：bcos30b，可得：b，即，故e.且，故渐近线方程为yx.故选AC.10(多选题)已知椭圆C1：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若F1PF2，则正确的是(BD)A.2Be1e2CeeDee1解析：因为0且|，故三角形MF1F2为等腰直角三角形，设椭圆的半焦距为c，则cba，所以e1.在焦点三角形PF1F2中，
5、设F1PF2，|PF1|x，|PF2|y，双曲线C2的实半轴长为a，则，故xyc2，从而(xy)2x2y2xyxy，所以(a)2即e2，故，e2e1，ee2，ee1，故选BD.二、填空题11(多填题)已知双曲线的渐近线方程为4x3y0，它的焦点是椭圆1的长轴端点，则此双曲线方程为1，离心率为.解析：由1可得其长轴端点为(5,0)，(5,0)，由双曲线的渐近线为：4x3y0，所以可设双曲线的方程为：1(0)，根据题意可得：91625，即1，所以双曲线的标准方程为：1，其离心率为e.12已知双曲线C：x24y21，过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点，则直线l的方程为y(x2)解析：双曲线C的
6、方程为x24y21，a1，b，渐近线方程为yx.P(2,0)在双曲线内部且直线l与双曲线有唯一公共点，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l的斜率为，直线l的方程为y(x2)13已知点P(1，)在双曲线C：1(a0，b0)的渐近线上，F为C的右焦点，O为原点，若FPO90，则C的方程为1.解析：设双曲线的一条渐近线方程为yx，由渐近线过点P(1，)，得，且|OP|2.焦点到渐近线的距离是b，即|PF|b，在RtOPF中，|OF|2|OP|2|PF|2，即c222b2.又c2a2b2，所以a2，b2，所以双曲线C的方程为1.14(多填题)已知双曲线E：1(a0，b0)的一条渐近线的方程是2xy0，则
7、双曲线E的离心率e3；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2y22x4ym0相切，则实数m的取值范围是(3,5)解析：因为双曲线E的一条渐近线的方程是2xy0，所以2，所以e3.因为双曲线E的实轴长为2，所以2a2，即a1，所以c3，F(3,0)由题意得右焦点F在圆C外，所以需满足条件解得3m0，b0)由题意可得双曲线的渐近线方程为yx，即，所以离心率e.16已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是yx，点A(0，b)，且AF1F2的面积为6.(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|AQ|，求实数m的取值范围解：(1)由题意得，SAF1F22cb6，a2b2c2，由求得a25，b24，双曲线C的标准方程是1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)将ykxm与1联立，消去y，整理得(45k2)x210kmx5m2200，由45k20及0，得x1x2，x1x2，x0，y0kx0m.由|AP|AQ|知，ADPQ，kAD，化简得10k289m，将代入，得m0.由10k289m0，得m.综上，实数m的取值范围是m或0m.
