1、第八章 平面解析几何 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第八章 平面解析几何 主干知识梳理一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形第八章 平面解析几何 量化方程观点000几何观点D rdrd r第八章 平面解析几何 二、圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形第八章 平面解析几何 量化dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|第八章 平面解析几何 基础自测自评1(教材习题改编)圆(x1)2(y2)26 与直线 2xy50 的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心C相交过圆心D相离B 由
2、题意知圆心(1，2)到直线 2xy50 的距离 d 5，0d 6，故该直线与圆相交但不过圆心第八章 平面解析几何 2直线 xy10 与圆 x2y2r2 相交于 A，B 两点，且 AB 的长为 2，则圆的半径为()A.3 22B.62C1 D2B 圆心(0，0)到直线 xy10 的距离 d 12.则 r212|AB|2d232，r 62.第八章 平面解析几何 3(2014泉州模拟)过坐标原点且与圆 x24xy220 相切的直线方程为()Axy0Bxy0Cxy0 或 xy0Dx 3y0 或 x 3y0第八章 平面解析几何 C 圆 x24xy220 的圆心为(2，0)，半径为 2，易知过原点与该圆相
3、切时，直线必有斜率 设斜率为 k，则直线方程为 ykx，则|2k|k21 2，k21，k1，直线方程为 yx.第八章 平面解析几何 4(教材习题改编)若圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点，则实数 k 的取值范围是_解析 由题意知21k2 1，解得 3k 3.答案(3，3)第八章 平面解析几何 5已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x 2y 8 0，则 两 圆 公 共 弦 所 在 的 直 线 方 程 是_解析 两圆相减即得x2y40.答案 x2y40第八章 平面解析几何 关键要点点拨1求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用
4、勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算2对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况第八章 平面解析几何 典题导入(2012陕西高考)已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3，0)的直线，则()Al与C相交 Bl与C相切Cl与C相离D以上三个选项均有可能直线与圆的位置关系的判断 第八章 平面解析几何 听课记录 将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得32024391230，所以点P(3，0)在圆内故过点P的直线l定与圆C相交答案 A第八章 平面解析几何 互动探究本例中若直线 l 为“xy40”问题不变解析 圆的方程为(x2)2y24，圆心(2，0)，r2.又圆心到直线的距离为 d 623 22.
5、l 与 C 相离第八章 平面解析几何 规律方法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交第八章 平面解析几何 跟踪训练1已知直线 l 过点(2，0)，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是()A(2 2，2 2)B(2，2)C.24，24D.18，18第八章 平面解析几何 C 易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是 1，直线 l 的方程是 yk(x2)，即 kxy2k0，根据点到直线的距离公式得|k2k|
6、k211，即 k218，解得 24 k 24.第八章 平面解析几何 典题导入(1)(2013安徽高考)直线 x2y5 50 被圆 x2y22x4y0 截得的弦长为()A1 B2C4 D4 6直线与圆的位置关系的综合 第八章 平面解析几何 听课记录 先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再在圆中构造直角三角形，利用勾股定理求弦长圆的方程可化为 C：(x1)2(y2)25，其圆心为 C(1，2)，半径 R 5.如图所示，取弦 AB 的中点 P，连接 CP，则 CPAB，圆心 C 到直线 AB 的距离 d|CP|145 5|12221.在 Rt ACP中，|AP|R2d22，故直线被圆截得的
7、弦长|AB|4.答案 C第八章 平面解析几何(2)(2012天津高考)设 m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21 相切，则 mn 的取值范围是()A1 3，1 3 B(，1 3 1 3，)C22 2，22 2 D(，22 2 22 2，)第八章 平面解析几何 听课记录 圆心(1，1)到直线(m1)x(n1)y20 的距离为|mn|（m1）2（n1）21，所以 mn1mn14(mn)2，整理得(mn)2280，解得 mn22 2或 mn22 2.答案 D第八章 平面解析几何 规律方法1圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则l2
8、2r2d2.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|1k2|x1x2|（1k2）（x1x2）24x1x2.注意 常用几何法研究圆的弦的有关问题 第八章 平面解析几何 2求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解第八章 平面解析几何 跟踪训练2(1)(2014黄冈中学适应性考试)圆 C 过坐标原点，圆心在 x 轴的正半轴上若圆 C 被直线 xy0 截得的弦长为 2 2，则圆 C的方程是_解析 依题意，设圆心坐标是(a，0)，其中 a0，半径为 ra，则圆心到直线 xy0 的距离等于 a2，于是有a222 222a2，a
9、24，a2.因此，所求圆 C 的方程是(x2)2y24.第八章 平面解析几何(2)(2014南京二模)在平面直角坐标系 xOy 中，设过原点的直线 l与圆 C：(x3)2(y1)24 交于 M、N 两点，若|MN|2 3，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为_第八章 平面解析几何 解析 如图，设圆心 C(3，1)到直线 ykx 的距离是 d，则 dr2|MN|221，所以|3k1|k211，解得 0k34.答案(1)(x2)2y24(2)0k34 第八章 平面解析几何 典题导入(1)(2013陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交
10、C相离D不确定点、直线与圆的位置关系 第八章 平面解析几何 听课记录 由点 M 在圆外，得 a2b21，圆心 O 到直线 axby1 的距离 d1a2b21r，则直线与圆 O 相交，选 B.答案 B第八章 平面解析几何(2)(理)(2013重庆高考)已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 24 B.171C62 2D.17第八章 平面解析几何 听课记录 圆 C1，C2 的圆心分别为 C1，C2，由题意知|PM|PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|
11、PC2|4，故所求值为|PC1|PC2|4 的最小值又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2，3)，所 以|PC1|PC2|4的 最 小 值 为|C3C2|4（23）2（34）245 24.故选 A.答案 A第八章 平面解析几何(2)(文)(2013重庆高考)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6B4C3D2听课记录|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为(3，1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d3(3)24.答案 B第八章 平面解析几何 规律方法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，
12、一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到第八章 平面解析几何 跟踪训练3若O：x2y25 与O1：(xm)2y220(mR)相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长是_解析 依题意得|OO1|5205，且OO1A 是直角三角形，SO O1A12|AB|2|OO1|12|OA|AO1|，因此|AB|2|OA|AO1|OO1|2 52 554.答案 4第八章 平面解析几何【创新探究】破角与圆有关的交汇问题(2014 东 北 三 省 四 市 第 二 次 联 考)设 集 合 A（x，y）（x3）2（y4）245，B(x，y)|(x3
13、)2(y4)2165，C(x，y)|2|x3|y4|，若(AB)C，则实数 的取值范围是_第八章 平面解析几何【思路导析】本例是圆与集合的交汇问题，解决本题的关键点有：弄清集合代表的几何意义；结合图形的位置关系求得参数的取值范围第八章 平面解析几何【解析】由题可知，集合 A 表示圆(x3)2(y4)245上点的集合，集合 B 表示圆(x3)2(y4)2165 上点的集合，集合 C 表示曲线 2|x3|y4|上点的集合，此三集合所表示的曲线的中心都在(3，4)处，集合 A，B 表示圆，集合 C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得的取值范围是2 55，4.【答案】2
14、55，4第八章 平面解析几何【高手支招】与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点，这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用同时，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否分类讨论同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题第八章 平面解析几何 体验高考1(2012辽宁高考)将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10Dxy30C 根据圆心在直线上求解因为圆心为(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.第八章 平面解析几何 2(20
15、12湖北高考)过点P(1，1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()Axy20By10Cxy0Dx3y40A 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件圆心O与P点连线的斜率k1，直线OP垂直于xy20，故选A.第八章 平面解析几何 3(2012浙江高考)定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离已知曲线 C1：yx2a 到直线 l：yx 的距离等于曲线 C2：x2(y4)22 到直线 l：yx 的距离，则实数 a_解析 曲线 C2 是圆心为(0，4)，半径 r 2的圆，圆心到直线 l：yx 的距离 d1|04|2 2 2，所以曲线 C2 到直线 l 的距离为 d1r 2.第八章 平面解析几何 设曲线 C1 上的点(x0，y0)到直线 l：yx 的距离最短为 d，则过(x0，y0)的切线平行于直线 yx.已知函数 yx2a，则 y|xx02x01，即 x012，y014a，点(x0，y0)到直线 l：yx 的距离 d|12（14a）|2|14a|2，第八章 平面解析几何 由题意知|14a|2 2，所以 a74或 a94.当 a74时，直线 l 与曲线 C1 相交，不合题意，故舍去答案 94第八章 平面解析几何 课时作业
