1、15平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式(1)数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别是xA，xB，则|AB|xBxA|.(2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.2点到直线的距离点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离记为d，则d.3两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20，两条直线间的距离记为d，即d.判一判1.原点O到点P(x，y)的距离为|OP|.()2平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关()3平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式()4直线l1：
2、AxByC10与l2：AxByC20的距离是|C1C2|.()5原点到直线AxByC0的距离公式是.()6平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值()7连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离()8点到直线的距离是直线上的点与直线外一点连线的长度中的最小值()想一想1.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式2两条平行直线间的距离公式写成d时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等3两条平行直线间距离有哪几种求法？提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式(2)在一条直线上任意选
3、取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决当两直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则d|x2x1|；当两直线都与y轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则d|y2y1|.4距离公式综合应用的常见类型有哪些？提示：(1)最值问题利用对称转化为两点之间的距离问题利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值(2)求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题立足确定直线的几何要素
4、点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解思考感悟：练一练1.已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为()A5B.C3 D29答案：B2已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且0，则()A原点一定是线段AB的中点BA，B一定都与原点重合C原点一定在线段AB上，但不是线段AB的中点D原点一定在线段AB的垂直平分线上答案：D3点(1，1)到直线xy10的距离是()A3 B.C3 D.答案：D4点(5，3)到直线x20的距离等于()A7 B5C3 D2答案：A5直线l1：xy0与直线l
5、2：2x2y10间的距离是_答案：知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A(2，m)与点B(m,1)间的距离是，则实数m()A1B4C1或4 D4或1解析：|AB|，m23m40，解得m1或m4.答案：C2已知点A(2,1)，B(2,3)，C(0,1)，则ABC中，BC边上的中线长为_解析：BC中点为(1,2)，所以BC边上中线长为.答案：知识点二求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为()A1 B1C. D解析：由题意，得1，即|a|，所以a.故选D.答案：D4点P(x，y)在直线xy40上，O是原点，则|OP|的最小值是()A. B2C. D2解析：由题意可
6、知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线xy40的距离d2.答案：B知识点三两条平行直线间的距离5.已知两条平行直线l1：3x4y50，l2：6xbyc0间的距离为3，则bc等于()A12 B48C36 D12或48解析：将l1：3x4y50改写为6x8y100，因为两条直线平行，所以b8.由3，解得c20或c40.所以bc12或48.故选D.答案：D6已知直线3x2y30和6xmy10互相平行，则它们之间的距离是()A4 B.C. D.解析：由两直线平行可知，故m4.又方程6x4y10可化简为3x2y0，平行线间的距离为.故选D.答案：D知识点四对称问题7.直线y3x4关于点P(2，1)对称
7、的直线l的方程是()Ay3x10 By3x18Cy3x4 Dy4x3解析：在直线上任取两点A(1，1)，B(0，4)，则其关于点P的对称点A，B可由中点坐标公式求得为A(3，1)，B(4,2)，由两点式可求得方程为y3x10.答案：A8直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线的方程是()A3x2y20 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x3y60平行，则可设所求直线的方程为2x3yC0(C6)在直线2x3y60上任取一点(3,0)，其关于点(1，1)对称的点为(1，2)，则点(1，2)必在所求直线上，2(1)3(2)C0，解得C8.故所
8、求直线的方程为2x3y80.答案：D综合知识距离公式的综合应用9.已知ABC中，A(2，1)，B(4,3)，C(3，2)(1)求BC边上的高所在直线方程的一般式；(2)求ABC的面积解析：(1)因为kBC5，所以BC边上的高AD所在直线斜率k.所以AD所在直线方程为y1(x2)即x5y30.(2)BC的直线方程为：y25(x3)即5xy170，点A到直线BC的距离为.又因为|BC|，所以ABC的面积S3.10已知直线l1经过点A(0,1)，直线l2经过点B(5,0)，且直线l1l2，l1与l2间的距离为5，求直线l1，l2的方程解析：直线l1l2，当直线l1，l2垂直于x轴时，直线l1的方程为
9、x0，直线l2的方程为x5，这时直线l1，l2之间的距离等于5，符合题意当直线l1，l2不垂直于x轴时，可设其斜率为k，依题意得，直线l1的方程为ykx1，即kxy10，直线l2的方程为yk(x5)，即kxy5k0.由两条平行直线间的距离公式，得5，解得k.直线l1的方程为12x5y50，直线l2的方程为12x5y600.综上，符合题意的直线l1，l2的方程有两组：l1：x0，l2：x5或l1：12x5y50，l2：12x5y600.基础达标一、选择题1点P(1，1)到直线l：3y2的距离是()A3B.C1 D.解析：点P(1，1)到直线l的距离d，选B.答案：B2已知点M(1,4)到直线l：
10、mxy10的距离为3，则实数m()A0 B.C3 D0或解析：点M到直线l的距离d，所以3，解得m0或m，选D.答案：D3两条平行直线3x4y120与ax8y110间的距离为()A. B.C. D.解析：直线3x4y120，即直线6x8y240，根据直线3x4y120与ax8y110平行，可得a6，故两条平行直线3x4y120与ax8y110间的距离为.答案：C4已知点A(1,3)，B(3,1)，C(1,0)，则ABC的面积等于()A3 B4C5 D6解析：设AB边上的高为h，则SABC|AB|h.|AB|2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离AB边所在的直线方程为，即xy40.点C到直线
11、xy40的距离为，因此，SABC25.答案：C5直线l垂直于直线yx1，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点则直线l的方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy0解析：因为直线l与直线yx1垂直，所以设直线l的方程为yxb.又l与y轴正半轴有交点，知b0，即xyb0(b0)，原点O(0,0)到直线xyb0(b0)的距离为1，解得b(b舍去)，所以所求直线l的方程为xy0.答案：A6已知ABC的三个顶点是A(a,0)，B(a,0)和C，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D斜三角形解析：因为kAC，kBC，kACkBC1，所以ACBC，又|AC|a|.|BC
12、|a|，|AC|BC|.所以ABC为直角三角形答案：C7若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A3 B2C. D4解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为xyc0，则，即c6，点M在直线xy60上，点M到原点的距离的最小值就是原点到直线xy60的距离，即3.答案：A二、填空题8已知点A(1,2)，B(3，b)的距离是5，则b_.解析：根据两点间的距离公式，可得5，解得b5或b1.答案：5或19若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是_解析：4，|16
13、12k|52，k3，或k.答案：3或10两直线3xy30与6xmyn0平行且距离为，则mn_.解析：因为两直线平行，所以m2，由两平行线的距离公式知，解得n14或n26.所以mn16或mn24.答案：16或2411已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，所以k2或k.所以所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案：2xy20或2x3y18012已知实数x，y满足2xy50，那么的最小值为_解析：求的最小值，就是求2xy50上的点到原点的距
14、离的最小值，转化为坐标原点到直线2xy50的距离d.答案：三、解答题13已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解析：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P点垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x2.若直线l的斜率存在，设其方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知，得2，解得k，此时l的方程为3x4y100.综上，直线l的方程为x2或3x4y100.(2)过P点且与原点
15、O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，存在过点P且到原点距离最大为的直线，因此不存在过点P到原点距离为6的直线14已知直线l1：x3y3m20和直线l2：2xym25m0相交于点P(mR)(1)用m表示直线l1与l2的交点P的坐标；(2)当m为何值时，点P到直线xy30的距离最短？并求出最短距离解析：(1)解方程组得x3m，ym2m，直线l1与l2的交点P的坐标为(3m，m2m)(2)设点P到直线xy30的距离为d，d，当
16、m1时，即P点坐标为(3,2)时，点P到直线xy30的距离最短，最短距离为.能力提升15.已知两点A(2,3)，B(4,1)，直线l：x2y20，在直线l上求一点P.(1)使|PA|PB|最小；(2)使|PA|PB|最大解析：(1)可判断A，B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1，y1)，则有解得由直线的两点式方程得直线A1B的方程为，即y(x4)1，由得直线A1B与l的交点为P，由平面几何知识可知，此时|PA|PB|最小(2)由直线的两点式方程求得直线AB的方程为，即xy50.由得直线AB与l的交点为P(8，3)，此时|PA|PB|最大16已知三条直线l1：mxym0，l2：xmym(m1)0，l3：(m1)xy(m1)0，它们围成ABC.(1)求证：不论m取何值时，ABC中总有一个顶点为定点；(2)当m取何值时，ABC的面积取最值？并求出最值解析：(1)证明：设直线l1与直线l3的交点为A.由解得点A的坐标为(1,0)，不论m取何值，ABC中总有一个顶点A(1,0)为定点(2)由解得即l2与l3交点为B(0，m1)再由解得即l1与l2交点为C.设边AB上的高为h，SABC|AB|h.当m0时，S；当m0时，S.函数f(x)x的值域为2，)(，20或0，S或S.当m1时，ABC的面积的最大值为，当m1时，ABC的面积的最小值为.
