1、第一章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在等比数列an中，如果a66，a99，那么a3为(A)A4 B. C. D2解析：在等比数列an中，a3，a6，a9成等比数列，aa3a9，a34.2下列可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是(C)Aan1 Ban Can2 Dan解析：由an2，可得a11，a22，a31，a42，.3已知数列an的前n项和Snn2n，那么它的通项公式an(B)An B2n C2n1 Dn1解析：当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n
2、，当n1时也符合，故an2n.4已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n,3为等比数列，则xymn的值为(B)A16 B11 C11 D11解析：根据等差和等比数列的性质知xy5，mn6，所以xymn11，故选B.5等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于(C)A12 B18 C24 D42解析：等差数列an的前n项和为Sn，S2，S4S2，S6S4成等差数列，2(S4S2)S2(S6S4)，整理得S63S43S23103224.6已知在等比数列an中，an0，a1，a99是方程x210x160的两根，则a20a50a80的值为(B)A32 B64 C256 D64
3、解析：由韦达定理，得a1a9916.而a1a99a20a80a16，且an0，a504，a20a8016.a20a50a8041664.7已知数列an的通项公式为anlog2(nN)，设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n(B)A有最大值63 B有最小值63 C有最大值32 D有最小值32解析：Sna1a2a3anlog2log2log2log2log2log25，64，n62，n的最小值为63.8设数列an的前n项和为Sn，且a11，Snnan为常数列，则an(B)A. B. C. D.解析：当n1时，S1a11，则S11a12，由Snnan为常数列，得Snnan2，Sn1(n1)an
4、12(n2)两式相减，得当n2时，(n1)an(n1)an1，即，则，即，故an(n2)又a11，满足上式，所以an(nN)9在数列an中，对任意自然数n，a1a2an2n1，则aaa等于(D)A(2n1)2 B.(2n1)2 C4n1 D.(4n1)解析：当n2时，a1a2an2n1，a1a2an12n11，得an2n1.当n1时，a11.则an2n1(nN)所以a(2n1)24n1，即a是以a1为首项，4为公比的等比数列所以Sn(4n1)10设等差数列an的公差为2，前10项和为490，等差数列bn的公差为4，前10项和为240.以ak，bk为邻边的矩形内的最大圆的面积记为Sk，若k18，
5、则Sk(A)A(2k1)2 B(2k3)2 C(k1)2 D(k18)2解析：由10a12490，得a140，an402(n1)2n38.由10b14240，得b16，bn64(n1)4n2.akbk(2k38)(4k2)362k，当k18时，362k0，即2k384k2，以ak和bk为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k1，则该最大圆的面积Sk(2k1)2.11等比数列an的通项为an23n1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列bn，那么162是新数列bn的(C)A第5项 B第12项 C第13项 D第6项解析：162是数列an的第5项，则它是新数列bn的第5(51)213项12设函
6、数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7(D)A0 B7 C14 D21解析：f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3a11(a23)3a21(a73)3a7114，即(a13)3a13(a23)3a23(a73)3a730，根据等差数列的性质得(a433d)3(a432d)3(a433d)37(a43)0，即(a433d)3(a433d)3(a432d)3(a432d)3(a43)37(a43)0，2(a43)(a43)227d22(a43)(a43)212d22(a43)(a43)23d2(a43)37(a43)0，即(a4
7、3)7(a43)284d270，a430，即a43，a1a2a77a421，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a810.解析：因为等差数列an中，a3a4a5a6a725，所以5a525，即a55.所以a2a82a510.14设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1|a2|a3|a4|15.解析：由数列an首项为1，公比q2，则an(2)n1，a11，a22，a34，a48，则a1|a2|a3|a4|124815.15数列an满足an1，a112，则a1.解析：由a112及an1，
8、得a10.同理a91，a82，a7，所以数列an是周期为3的数列所以a1a10.16已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b1064.解析：依题意，有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，所以a22，所以a1022432，a1112532.又anan1bn，所以b10a10a1164.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题10分)在等比数列an中，a23，a581.(1)求an；(2)设bnlog3an，求
9、数列bn的前n项和Sn.解：(1)设an的公比为q，依题意，得解得因此，an3n1.(2)因为bnlog3ann1，所以数列bn的前n项和Sn.18(本小题12分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn1(n2)(1)求证：数列是等差数列(2)求Sn和an.解：(1)证明：当n2时，anSnSn12SnSn1，S1a10，由递推关系知Sn0(nN)，由式得2(n2)是等差数列，其中首项为2，公差为2.(2)由(1)知22(n1)2n，Sn.当n2时，anSnSn1，当n1时，a1S1不适合上式，an19(本小题12分)已知数列an满足an13an2，且a12.(1)求证：数列
10、an1是等比数列；(2)设bn，判断数列bn的前n项和Tn与的大小关系，并说明理由解：(1)证明：由题意，可得an113(an1)又a1130，所以数列an1是以3为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)，知an13n，即an3n1，所以bn，所以Tn0，a25，a39，da3a24，a1a2d1.an14(n1)4n3.(2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n，bn.数列bn是等差数列，2b2b1b3，2，解得c(c0舍去)bn2n.显然bn成等差数列，符合题意，c.(3)由(2)可得f(n)，当且仅当n，即n5时等号成立，f(n)的最大值为.21(本小题12分)从社会效益和经济效
11、益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计以后每年的旅游业收入将比上一年增加.(1)设n年内(本年度为第1年)总投入an万元，旅游业总收入bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？解：(1)由题意知第1年投入800万元，第2年投入800万元，第n年投入800n1万元，所以an800800800n18004 000.又第1年旅游业收入400万元，第2年旅游业收入400万元，第n年旅游业收入400n1万元，所以bn4
12、00400400n14001 600.(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，因此bnan0，即1 6004 0000，化简得5n2n70，即n或n1(舍去)，因为nN，所以n5，所以至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入22(本小题12分)已知数列an中，a11，an1(nN)(1)求证：是等比数列，并求an的通项公式an；(2)数列bn满足bn(3n1)an，数列bn的前n项和为Tn，若不等式(1)nTn对一切nN恒成立，求的取值范围解：(1)由an1，得1，即3，又，是以为首项，3为公比的等比数列，3n1，即an.(2)bn，Tn123(n1)n，12(n1)n，两式相减得n2，Tn4，(1)n4.若n为偶数，则4，3；若n为奇数，则4，2.23.
