1、长沙市名校新高二入学考试数学模拟试卷数 学时量：120分钟 满分：100分一、单选题(共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案)1.若集合中只有一个元素，则的值为( )A.B.C.D.或2.是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是( )A.B.C.D.4.对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是( )A.B.或C.D.或5.已知，是函数图象上两个不同的点，若，则的最小值为( )A.B.C.D.6.已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标
2、不变，得到函数的图象，若，若，则的最大值为( )A.B.C.D.7.如图，在中，与交于，则为( )A.B.C.D.8.如图为五面体，其中四边形为矩形，和都是正三角形，则该五面体的体积为( )A.B.C.D.9.是的平均数，是的平均数，是的平均数，则下列各式正确的是( )A.B.C.D.10.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为，且，若，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.B.C.D.11.在三棱锥中，平面平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为( )A.B.C.D.12.在锐角中，角，的对边分别为
3、，为的面积，且，则的取值范围为( )A.B.C.D.二、多选题(共3个小题，每小题3分，共9分，每小题答案不全得1分，多选或错选得0分)13.下列说法正确的是( )A.用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是；B.已知一组数据，的平均数为，则这组数据的方差是；C.数据，的第百分位数是；D.若样本数据的标准差为，则的标准差为14.已知函数在上是单调函数，且.则的可能取值为( )A.B.C.D.15.已知边长为的菱形中，将沿翻折，下列说法正确的是( )A.在翻折的过程中，直线，所成角的范围是B.在翻折的过程中，三棱锥体积最大值为C.在翻折过程中，三棱锥表面
4、积最大时，其内切球表面积为D.在翻折的过程中，点在面上的投影为，为棱上的一个动点，的最小值为三、填空题(共5个题，每小题3分，共15分)16.若为纯虚数，其中，则等于_.17.设函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，则_.18.如图，已知二面角，且，则二面角的余弦值为_.19.函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是_.20.在中，点在线段上，且，则_；面积的最大值为_.四、解答题(共5个大题，每题8分，共40分)21.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续天苹果的日销售量(
5、单位：)，并绘制频率分布直方图如下：(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求(在天中，大约有天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)22.袋中有个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：(1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？(2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多
6、少？23.在中，内角，所对的边分别为，且满足.(1)求角；(2)若，的外接圆半径为，试求的边上的高.24.如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，点在平面内的射影恰为的重心.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.25.如图，矩形中，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，设.(1)求角的取值范围；(2)求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.长沙市名校新高二入学考试数学模拟数学参考答案一、选择题123456789101112DABBCCAAABBC二、选择题131415ACDABBC三、填空题16.17.18.19.20. 四、解答题21.【解析】(1)如图示：区
7、间频率最大，所以众数为，平均数为：.(2)日销售量的频率为，日销量的频率为，故所求的量位于.由，得，故每天应该进千克苹果.22.【解析】(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件，由于，为互斥事件，根据已知，得，解得，所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.(2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为，从个球中取出个球的样本空间中共有个样本点，其中两个是黑球的样本点是个，两个黄球的是个，两个绿球的是个，于是，两个球同色的概率为，则两个球颜色不相同的概率是.23.【解析】(1)由，得，即，由正弦定理，得，即.又，所以，即.又，所以.(2)由正弦定理得，由余弦定理得，所以，设的
8、边上的高为，因为的面积，所以的边上的高.24.【解析】(1)过作于，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，.又平面，平面，又，平面，平面，.(2)连结并延长交于，连结，以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，平面，平面，同理，又，平面，又是的重心，是的中点，由(1)知，解得，设，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.25.【解析】(1)由题意，当点位于点时，角取最大值，此时，因为，所以，当点位于点时，取得最大值，角取最小值，由对称性知此时，所以，所以角的取值范围是.(2)在直角中，且，所以，在直角中，且，所以，在中，由勾股定理得，因为，所以，所以，所以，令，因为，可得，所以，又由，可得，因为函数在区间上单调递减，当时，此时，解得，所以当时，的周长取得最小值，最小值为.
