1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-2 推理与证明 第二章 2.1 合情推理与演绎推理第2课时 演绎推理第二章 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习在生活中，我们常常会遇到这样一些判断：人生病要吃药，小明生病了，因此，小明要吃药；摩擦生热，冬天双手互相摩擦，手就不冷了；任意四边形的内角和为 360，梯形是四边形，因此梯形的内角和是 360这些推理都是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的，与前一节所学的合情推理不同，这属于另一种推理演绎推理.1.合情推理包括哪两种推理方式？2我们知道金属能够导电，而铁是金属，由此能得到怎样的结论？答案：
2、1.归纳推理和类比推理2铁能够导电.一、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫做演绎推理它是从一般到特殊的推理模式演绎推理的特点：(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的因而演绎推理是数学中严格证明的工具(3)演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果
3、A 和B 是两条平行直线的同旁内角，则AB180B由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C某校高三共有 10 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，三班有 52 人，由此推测各班都超过 50 人D在数列an中，a11，an12an1 1an1(n2)，计算a2、a3、a4，由此猜测通项 an导学号05300426答案 A解析 A是演绎推理，它是由一般到特殊的推理形式，B是类比推理，C与D均为归纳推理故选A.二、三段论推理在推理中：“若 bc，ab，则 ac”这种推理规则叫三段论推理演绎推理中经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理一般地，三段论可表示为：M是P，S是M所以，S
4、是P，其中“M 是 P”是大前提，它提供一般性原理，“S 是 M”是小前提，指出一个特殊的对象，大前提和小前提结合得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系，从而得出结论“S 是P”注意：(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果前提是显然的，则可以省略(2)从集合论的观点来讲三段论推理的根据是：若集合 M中的所有元素都具有性质 P；S 是 M 的一个子集；那么 S中的所有元素都具有性质 P.“三角函数是周期函数，ytanx，x2，2 是三角函数，所以 ytanx，x2，2 是周期函数”在以上演绎推理中，下列说法正确的是()A推理完全正确 B大前提不正确C小
5、前提不正确D推理形式不正确答案 D解析 大前提和小前提中的“三角函数”不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确导学号05300427三、传递性关系推理“如果 aRb，bRc，则 aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系，这种推理规则叫做传递性关系推理平行公理“三条直线 a、b、c，若 ab，bc，则 ac”中所蕴含的推理规则是_答案 传递性关系推理导学号05300428四、完全归纳推理把所有的情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理完全归纳推理有两个规则：一是前提中被判断的对象必须是该类事物的全部对象；二是前提中的所有判断都必须是真实的设an是由正数组成的等比数列，Sn 是前 n
6、 项和求证：log0.5Snlog0.5Sn22log0.5Sn1.证明 设数列an的公比为 q，由题设知 a10，q0.当 q1 时，Snna1，从而 SnSn2S2n1na1(n2)a1(n1)2a21a210.导学号05300429当 q1 时，Sna11qn1q，从而 SnSn2S2n1a211qn1qn21q2a211qn121q2a21qn0.综上，得 SnSn2log0.5Sn1.课堂典例探究设k为实数，求证：方程x2kxk10一定有实数根分析 假设方程的判别式0，则方程一定有实数根证明 方程x2kxk10的判别式k24(k1)(k2)20，方程一定有实数根假言推理导学号0530
7、0430方法总结 本题的推理过程是“若 0，则方程有实根”，而判别式 0 为真，所以方程有实根就为真，属于假言推理的形式设m为实数，求证方程x22mxm210没有实数根证明 已知方程x22mxm210的判别式(2m)24(m21)40，b0，ab1 时，a12b122.证明 1ab2 ab，ab14.12(ab)ab141.a12 b12 1，导学号05300434从而有 22a12 b12 4，即a12 b12 2a12 b12 4，a12 b1224.a12 b12 2.方法总结 本题直接用 ab1 来推理，方向不够明确，但只要注意求证式子的特点，我们不难想到利用关系推理进行证明设 a0，
8、b0，ab1.求证：1a1b 1ab8.证明 因为 a0，b0，ab1，1ab2 ab，即 ab12.1ab4，1a1b 1ab(ab)1a1b 1ab2 ab21ab 1ab448，当且仅当 ab 时等号成立，所以1a1b 1ab8.导学号05300435完全归纳推理求证：当 1n4 时，f(n)(2n7)3n9 能被36 整除证明 当 n1 时，f(1)(27)3936，能被 36 整除；当 n2 时，f(2)(227)329108363，能被 36整除；当 n3 时，f(3)(237)3393603610，能被 36整除；导学号05300436当 n4 时，f(4)(247)349122
9、43634，能被36 整除综上，当 1n4 时，f(n)(2n7)3n9 能被 36 整除方法总结 完全归纳推理有两个规则：(1)前提中被判断的对象必须是该类事物的全部对象；(2)前提中的所有判断都必须是真实的已知函数 f(x)12x112 x3.(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)0.解析(1)函数 f(x)的定义域为 2x10，即x|x0，f(x)f(x)12x112(x)312x112 x3导学号053004372x12x12(x)312x112 x3 2x2x1x312x312x1x312x3x3x30.所以 f(x)f(x)，所以 f(x)是偶函数(2)证明：因为 x0
10、，所以当 x0 时，2x1,2x10，x30.所以 f(x)0.当 x0，f(x)f(x)0，所以 f(x)0.“三段论”在函数中的应用已知函数 f(x)axx2x1(a1)，求证：函数 f(x)在(1，)上为增函数分析 本题主要考查用“三段论”证明函数的单调性的方法，解决此类问题应先找出证明的大前提，然后在大前提下证明小前提满足大前提，从而得出结论导学号05300438证明 对x1，x2I，且 x1x2，若 f(x1)f(x2)，则 yf(x)在 I 上是增函数大前提设 x1，x2 是(1，)上的任意两数，且 x11，且 x1x2，ax1ax2，x1x21，x21，(x11)(x21)0.f
11、(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)小前提函数 f(x)在(1，)上为增函数结论方法总结 用“三段论”的形式证明命题时，如果大前提很明显，一般可省略不写演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确求证：函数 y2x12x1是奇函数，且在定义域上是增函数证明 y2x122x1122x1.所以 f(x)的定义域为 xR.f(x)f(x)122x1 122x1222x122x1 222x1 22x2x1222x12x1 220.导学号05300439即 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数任取 x1，x2R，且 x1x2.则 f(x1)f(x2)122x11 122
12、x21212x2112x11 22x12x22x212x11.由于 x1x2，从而 2x12x2，2x12x20，所以 f(x1)BC，CD 是 AB 边上的高，求证：ACDBCD.错解 在ABC 中，CDAB，ACBC，ADBD，ACDBCD.导学号05300440辨析 错误的原因在于运用的大前提正确在同一个三角形内，大边对大角；而 AD 与 BD 并不是同一个三角形的两条边，即小前提并不成立，所以推理过程错误正解 CDAB，ADCBDC90.AACDBBCD90.ABBCDACD.在ABC 中，ACBC，BA，即AB0，BCDACDBCD.演绎推理三段论推理掌握传递性关系推理掌握完全归纳推理掌握课 时 作 业（点此链接）
