1、（文科）1开封市 2020 届高三第一次模拟考试数学（文科）试题参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案DABDADCCCAAB二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.114.215.21116.21，三、解答题（共 70 分）17.（本小题满分 12 分）解：(1)由已知 na为等差数列，记其公差为 d.当 n2 时，1211211nnnnanaana，所以 d=1，2 分当 n=1 时，12112aa，所以11 a.4 分所以，nan.5 分(2)21nnSn，7 分1112121nnnnSn，9 分所以121112111413131
2、212112 nnnnnTn12 分18.（本小题满分 12 分）解：(1)根据抛物线的定义，知动点Q 的轨迹是以 F 为焦点，以 x=-1 为准线的抛物线，所以动点Q 的轨迹方程 E 为：24yx.4 分(2)1 当 l 的斜率不存在时，可知48FA FB ，不符合条件；5 分2 当 l 的斜率存在且不为 0 时，设 l：(1)yk x，6 分则2(1)4yk xyx，联立可得2222240k xkxk，设 1122,A x yB xy，则21212224,1.kxxx xk8 分因为向量 FA FB，方向相反，所以121212241114810FA FBFA FBxxx xxxk 分所以2
3、1,k 即1k ，所以直线 l 的方程为1yx 或1xy.12 分19.（本小题满分 12 分）（文科）2(1)证明：连接 AC，由 AECG 可知四边形 AEGC 为平行四边形，所以 EGAC.1 分由题意易知 ACBD，ACBF，所以 EGBD，EGBF，因为 BDBFB，所以 EG平面 BDHF，3 分又 DF平面 BDHF，所以 EGDF5 分(2)设 ACBDO，EGHFP，由已知可得：平面 ADHE平面 BCGF，所以 EHFG，同理可得：EFHG，所以四边形 EFGH 为平行四边形，6 分所以 P 为 EG 的中点，O 为 AC 的中点，所以 OPAE，且 OP=3，DH4，由平
4、面几何知识，得 BF28 分所以 SBFG=12 BFBC=4.10 分因为 EA/FB，FB平面 BCGF，EA 平面 BCGF，所以 EA/平面 BCGF，所以点 A 到平面 BCGF 的距离等于点 E 到平面 BCGF 的距离，为 2 3.所以 VF-BEG=VE-BGF=VA-BGF=13 SBFG2 3=8 33.12 分20.（本小题满分 12 分）解：(1)由题易知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以 25 为首项，以 90 为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前 10 项之和，2 分所以4300902910251010S.4 分(2)（i）由题易知，若按照分层抽
5、样的方法，抽出的样本中 A 题目的成绩有 6 个，按分值降序分别记为621xxx，；B 题目的成绩有 4 个，按分值降序分别记为4321yyyy，.记样本的平均数为 x，样本的方差为2s。由题意可知，12612345 65.5 45.21010 xxxyyyyx，6 分222222225.250.252 0.250.21,2,65.2-5.50.35.52 0.35.50.31,2,4iiiiiiiixxxxiyyyyi ，22222126142225.25.25.25.25.2102 600.260.25 400.3413.61.361010 xxxyys 所以，估计该校 900 名考生选做
6、题得分的平均数为 5.2，方差为 1.36.8 分（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和 B 题目成绩的中位数都是 5.5，易知样本中 A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 3 个，分别为321xxx，B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 2 个，分别为21yy，.9 分从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种 10 方法，为：，23222113121121323121yxyxyxyxyxyxyyxxxxxx其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有 6 种，为：（文科）3，232221131211yxyxyxyxyxyx11 分记“从样本中随机选取两个大
7、于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件 A，所以 53106 AP.12 分21.（本小题满分 12 分）解：(1)当1a 时，1()sinxf xxe，则1()cosxfxxe，1 分当,0 x 时，01,xe则 11xe ，又因为cos1x ，所以当,0 x 时，1()cos0 xfxxe，仅 x=0 时，0 xf，3 分所以()f x 在,0上是单调递减，所以()(0)1f xf，即()1f x .5 分(2)()cosxafxxe，因为,02x，所以cos0,0 xxe，6 分当0a 时，()0fx恒成立，所以()f x 在,02上单调递增，没有极值点.8 分当0a 时
8、，()cosxafxxe在区间,02上单调递增，因为202fa e ，(0)1fa .当1a 时，,02x 时，()(0)10fxfa ，所以()f x 在,02上单调递减，没有极值点.10 分当01a 时，(0)10fa ，所以存在0,02x，使0()0fx，当0,2xx 时，()0fx，0,0 xx时，()0fx，所以()f x 在0 xx处取得极小值，0 x 为极小值点.综上可知，若函数()f x 在,02上存在极值点，则实数0,1a12 分22.（本小题满分 10 分）解：(1)由已知可得：12:221 yxC，则极坐标方程为2)sin1(223 分2:222 yxC5 分(2)设点Q
9、 的横坐标为Qx，则由已知可得：|21QOTQxOTS，（文科）4且直角坐标)21,1(P，极坐标),26(P，其中32cos,31sin，7 分极坐标)3,2(Q，则有2131)3cos(2Qx，所以111123|1()224623OTQQSOTx.10 分23.（本小题满分 10 分）解：(1)由已知可得：333cabcabcabcab，所以得证.5 分(2)由于cba,为一个三角形的三边长，则有：abccbcb2)(2，即acb所以acbaacab)(，同理bbcab，cbcac，7 分相加得：cbaabbcac222，左右两边同加cba得：)(2)(2cbacba，所以2)(2cbacba得证.10 分
