1、试卷第 1页,总 4页2020-2021 学年度下学期第一学程质量测试高二年级数学试题(理科)一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上)1已知抛物线的方程为24yx,则其准线方程为()A116x B116y C1x D1y 2已知 l,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为1(1,2)2,则 m()A8B5C5D83已知 F 为抛物线2:4C yx的焦点,过点 F 的直线l 交抛物线C 于 A,B 两点,若6AB,则线段AB 的中点 M 到抛物线C 的准线的距离为()A3B4C5D
2、64函数()yf x在定义域3(,3)2内可导,其图象如图所示,记()yf x的导函数为()yfx,则不等式()0fx的解集为()A1,12,3)3B.14 8 1,23 3C.3 1,1,22 2D311 4,232 35长方体1111ABCDA B C D中,2AB,11ADAA,E 是CD 的中点,F 是 AB 的中点.则异面直线1B E 与1D F 所成角的余弦值为()A33B 13C13D 196已知抛物线214yx上的动点 P 到直线 l3y 的距离为 d,A 点坐标为(2,0),则|PAd的最小值等于()A 4B 25C 2 5D357曲线()yf x在1x 处的切线如图所示,则
3、(1)(1)ff()A0B 1C1D12试卷第 2页,总 4页8设 f(x)sin1 cosxx,x,当 f(x)2 时,x 等于()A13B16C14D239过抛物线22ypx(0p)焦点 F,斜率为k(0k)的直线交抛物线于 A,B 两点,若3AFBF,则 k ()A3B2C32D110抛物线2yx 上的点到直线10 xy 的最短距离是().A 38B 3 28C 58D 5 2811已知()f x 为定义在(0,)上的可导函数,且()()f xxfx恒成立,则不等式21()()0 x ff xx 的解集为()A(1,)B(,1)C(2,)D(,2)12已知223,1()ln,1xxxf
4、xx x,若函数1()2yf xkx有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是()A 1,2eB 1,2eC 1,2eeD 1,2ee二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13抛物线220yx的焦点到其准线的距离为_.14若(2,3,5),(3,1,4)ab,则2ab_15函数 322f xxaxbxa在1x 处取得极值 10,则 ab _.16设函数 2lnxef xtxxxx恰有两个极值点,则实数t 的取值范围是_.三、解答题(第 17 题满分 10 分,其他每小题满分 12 分,共 70 分)17已知抛物线2:2C ypx的焦点为 F,(1,)Mt 为抛物线 C 上的点,且3|2MF.
5、(1)求抛物线 C 的方程;(2)若直线2yx与抛物线 C 相交于 A,B 两点,求弦长|AB.试卷第 3页,总 4页18如图,在棱长为 4 的正方体1111ABCDA B C D中,,E F 分别是11A B 和11B C 的中点(用空间向量方法求解)(1)求点 D 到平面 BEF 的距离;(2)求 BD 与平面 BEF 所成的角的余弦值19如图,在三棱锥 PABC中,PC 平面 ABC,BCAC,2ACPC,4CB,M 是 PA的中点(用空间向量方法证明、求解)()求证:PA 平面 MBC;()设点 N 是 PB 的中点,求二面角 NMCB的余弦值20已知函数3()212f xxx(1)求
6、()f x 在点(1,(1)f处的切线;(2)求()f x 在区间 1,3上的最大值和最小值试卷第 4页,总 4页21已知函数 1 ln2fxxmx mR,0ag xxax(1)求函数 fx 的单调区间(2)若212me,对2122,2,x xe 都有 12g xf x成立,求实数 a 的取值范围22已知点(1,0)F,直线 L:1x ,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 L 的垂线,垂足为Q,且QP QFFP FQ .(1)求点 P 的轨迹C 的方程.(2)是否存在正数 m,对于过点(,0)M m且与曲线C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有0FA FB?若存在,求出 m 的取值范围;若
7、不存在,请说明理由.答案第 1页,总 5页高二下学期第一学程测试参考答案数学(理科)一、选择题1C2D3A4A5B6B7C8D9A10B11A12C10【解析】令()()f xg xx,则2()()()xfxf xg xx()()f xxfx()()0 xfxf x,即2()()()0 xfxf xg xx在(0,)上恒成立()g x 在(0,)上单调递减21()()0 x ff xx 1()()1ff xxxx,即1()()gg xx 1xx,即1x 11【详解】221010 xyyyyx ,无解,故直线:10l xy 与抛物线2yx 没有公共点,如图所示.设直线:0m xyc与抛物线相切,
8、则直线m 与l 的距离即为抛物线2yx 上的点到直线:10l xy 的最短距离,2200 xycyycyx ,则1 40c,14c ,所以两平行直线1:04m xy与:10l xy 的距离为:1(1)3 2482d.12【详解】由题意1()2yf xkx有 4 个零点,即1()2f xkx有 4 个零点.设1()2g xkx,则()g x 恒过点10,2,所以函数()g x 与()f x 的图象有 4 个交点,在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象,如图.由图象可知,当函数()g x 过点10,2和1,0 时,即12k 时,此时函数()g x 与()f x 的图象恰有 3
9、个交点;当12k 时,函数()g x 与()f x 的图象至多有 2 个交点当12k 时,若函数()g x 与ln1yx x的图象相切时,设切点为,lnaa,则1yx,所以1ka,所以1ln12aaa,解得 ae,答案第 2页,总 5页所以eke,此时函数()g x 与()f x 的图象恰有 3 个交点;当eke时,两函数图象至多有两个交点.所以若要使函数1()2yf xkx有 4 个零点,则1,2eke.故选:C.二、填空题13101425815 716 1,2 33ee15【详解】由题意,函数 322f xxaxbxa,可得 232fxxaxb,因为 fx 在1x 处取得极值 10,可得2
10、(1)320(1)110fabfaba,解得4 11ab 或3 3ab ,检验知,当3,3ab 时,可得 223633(1)0fxxxx-,此时函数 fx 单调递增,函数为极值点,不符合题意,(舍去);当4,11ab 时,可得 23811(311)(1)fxxxxx,当113x 或1x 时,0fx,fx 单调递增;当1113x时,0fx,fx 单调递减,当1x 时,函数 fx 取得极小值,符合题意.所以7ab .故答案为:7.16【详解】由题意,函数 2lnxef xtxxxx,0,x,可得 222112121xxxext xxe xefxtxxxx 212xxet xx,因为函数 2lnxe
11、f xtxxxx恰有两个极值点,所以方程 0fx恰有两个正根,显然1x 时方程 0fx的一个正根,所以方程20 xet x有唯一正根,即方程2xetx有唯一正根,等价于函数 2xg xex与函数 yt 在0,上只有一个交点,且交点横坐标不等于 1,因为 2222022xxxexeexgxxx,所以函数 g x 在0,上单调递增,又由 102g,13eg,函数 g x 的图象如图所示,可得12t 且3et.答案第 3页,总 5页三、解答题17(1)22yx;(2)2 10.【详解】(1)3|122PMF ,所以1p ,即抛物线 C 的方程22yx.5 分(2)设1122,A x yB xy,由2
12、22yxyx得2640 xx,所以126xx,124x x 8 分所以22121212|124ABkxxxxx x2 36162 10.10 分18(1)163;(2)13.【详解】(1)如图所示,以点 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz,(1 分)依题意,得(4,0,0),(0,4,0),(2,0,4),(4,2,4)BDEF,则(2,0,4),(0,2,4)BEBF,设平面 BEF 的法向量为(,)nx y z,则,nBE nBF,则240240n BExzn BFyz ,即22xzyz,(3 分)由此取1z ,可得平面 BEF 的一个法向量为(2,2,1)n,(4 分)又由(4,4,
13、0)DB(5 分)所以点 D 到平面 BEF 的距离为222|4 2(4)(2)0 1163|2(2)1DB ndn 。(6 分)(2)设 BD 与平面 BEF 所成角为,则(0,)2,且2216|2 23sin|cos,|3|4(4)DB ndDB nDBnDB ,(10 分)所以 BD 与平面 BEF 所成角的余弦值为222 21cos1 sin1()33(12 分)19()证明见解析;()2 23【详解】解:()以 C 为原点,CA,CB,CP 为 x,y,z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,(1 分)(2,0,0)A,(0,0,2)P,(0,4,0)B,(0,0,0)C,(1,
14、0,1)M,则(1,0,1)CM,(0,4,0)CB,(2,0,2)PA,(3 分)0,0 PA CMPA CB,(5 分),PACMPACN,又CMCNCPA 平面 MBC(6 分)答案第 4页,总 5页()由()知(2,0,2)PA 是平面 MBC 的一个法向量,(7 分)(0,2,1)N,则,(0,2,1)CN 又(1,0,1)CM,设(,)nx y z是平面 MNC 的法向量,则有00CM nCN n ,即020 xzyz,令1y ,则2z ,2x,(2,1,2)n,(9 分)设二面角 NMCB所成角为,由图可得 为锐角,则2 20 12(2)2 2coscos,3|89PA nPA
15、nPA n (12 分)20(1)640 xy;(2)18,8 2【详解】(1)3212f xxx,则 2612fxx2 分则 110f,16f 故切线为1061yx,即640 xy5 分(2)2612622fxxxx当 12x 时,()0,(2)0fxf,当23x时,()0fx()f x在 1,2)上单调递减,在(2,3 上单调递增7 分(1)10,(3)18,(2)8 2fff 10 分()fx在区间 1,3上的最大值和最小值分别是 18,8 212 分21(1)答案见解析;(2)0,3【详解】(1)1 ln,02fxxmx mRx,所以 12fxmx,1 分当0m 时,0fx,fx 在0
16、,上单调递增2 分当0m 时,由 0fx得12xm;由 00fxx得102xm;由 00fxx得12xm4 分综上所述,当0m 时,fx 的单调递增区间为0,;当0m 时,fx 的单调递增区间为10,2m,单调递减区间为1,2m5 分(2)若212me,则 211ln22fxxxe对2122,2,x xe 都有 12g xf x成立,等价于对2122,2,x xe 都 minmaxg xf x,7 分由(1)知在22,e 上单调递增,在22,2ee 上单调递减,所以 fx 的最大值为 212f e,8 分答案第 5页,总 5页 2100agxax,22,2xe ,函数 g x 在22,2e 上
17、是增函数,222minag xg,10 分所以1222a,解得3a,又0a,所以0,3a.所以实数 a 的取值范围是0,3 12 分22(1)24yx;(2)存在,32 2,32 2.【详解】(1)设 P 的坐标为(,)x y,则(1,)Qy,可得(1,0)QPx,(2,)QFy,(1,)FPxy,(2,)FQy,QP QFFP FQ ,2(1)2(1)(2)xxy,化简得24yx,即动点 P 的轨迹C 的方程为:24yx;4 分(2)设直线l 的方程为 xtym,过点(,0)M m(0)m 的直线l 与曲线C 的交点为11,A x y,22,B xy,联立24xtymyx,消去 x,得244
18、0ytym(*),5 分则1y,2y 是方程(*)的两根,2160tm,且121244yytyym,6 分又111,FAxy,221,FBxy,由0FA FB,可得1212110 xxy y,即1 2121210 x xxxy y,7 分由于22121 244yyx x,代入不等式可得:2222121212104444yyyyy y,化简得:22121212121210164y yy yyyy y,由式,化简不等式得22614mmt,10 分对任意实数t,不等式240t 恒成立,不等式对于一切t 恒成立等价于2610mm,11 分解之得32 232 2m,由此可得:存在正数m,对于过点(,0)M m,且与曲线C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有0FA FB 且m 的取值范围是32 2,32 2.12 分